Question

Найти интервалы монотонности: 1) f(x)=3-2x 2)f(x)= x^2-4x+5 3)f(x)=x^3-3x^2+7

Answer 1

1) f(x)=3-2x

f(x/=0

0=3-2x

2x=3

x=3/2 или x=1,5

2) f(x)=x²-4x+5

f(x)=0

0=x²-4x+5

Находим дискриминант:

D=16-20=-5 — а этого не может быть, значит x≠R

3) f(x)=x³-3x²+7

f(x)=0

0=x³-3x²+7

x³-3x²=-7

x²(x-3)=-7

x²≠-7

x-3=-7 → x=3-7=-4

x=-4

Answer 2

Для каждой из функций найдем интервалы монотонности. Интервал монотонности - это промежуток значений аргумента, на котором функция возрастает или убывает.

1. f(x) = 3 - 2x

Для определения интервалов монотонности возьмем производную функции и найдем ее знак:

f'(x) = d/dx (3 - 2x) = -2

Знак производной -2 не зависит от значения x и всегда отрицателен. Это означает, что функция убывает на всей числовой прямой.

Интервал монотонности для f(x) = 3 - 2x: (-∞, +∞) (вся числовая прямая).

2. f(x) = x^2 - 4x + 5

Также найдем производную и ее знак:

f'(x) = d/dx (x^2 - 4x + 5) = 2x - 4

Для определения знака производной решим неравенство 2x - 4 > 0:

2x - 4 > 0 2x > 4 x > 2

Таким образом, производная положительна при x > 2, что означает, что функция возрастает на интервале (2, +∞). Теперь решим неравенство 2x - 4 < 0:

2x - 4 < 0 2x < 4 x < 2

Производная отрицательна при x < 2, что значит, что функция убывает на интервале (-∞, 2).

Интервалы монотонности для f(x) = x^2 - 4x + 5: (-∞, 2) и (2, +∞).

3. f(x) = x^3 - 3x^2 + 7

Также найдем производную и ее знак:

f'(x) = d/dx (x^3 - 3x^2 + 7) = 3x^2 - 6x

Здесь производная является квадратичной функцией. Чтобы найти знак производной, решим неравенство 3x^2 - 6x > 0:

3x^2 - 6x > 0 3x(x - 2) > 0

Теперь определим знак производной на каждом интервале:

1. x < 0: 3x < 0, x - 2 < 0, производная положительна.
2. 0 < x < 2: 3x > 0, x - 2 < 0, производная отрицательна.
3. x > 2: 3x > 0, x - 2 > 0, производная положительна.

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞), и убывает на интервале (0, 2).

Интервалы монотонности для f(x) = x^3 - 3x^2 + 7: (-∞, 0), (2, +∞).