Question

Докажите нервенство 2(1+x^2+x^4)>=3(x^3+x)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства неравенства 2(1+x^2+x^4) ≥ 3(x^3+x), мы будем использовать алгебраические преобразования. Для начала, раскроем скобки в обоих частях неравенства:

2(1+x^2+x^4) ≥ 3(x^3+x)

Раскроем скобки слева:

2 + 2x^2 + 2x^4 ≥ 3(x^3 + x)

Теперь приведем подобные члены в правой части:

2 + 2x^2 + 2x^4 ≥ 3x^3 + 3x

Далее, перенесем все члены в левой части на одну сторону, а правую часть на другую:

2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 3x + 2 ≥ 0

Теперь наша задача - доказать, что выражение в левой части больше или равно нулю для всех значений переменной x.

Мы можем попробовать доказать неравенство, выяснив, когда оно достигает нуля, и когда оно положительно. Затем, мы определим знак выражения на каждом из полученных интервалов.

1. Найдем точки, в которых выражение равно нулю:

2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 3x + 2 = 0

Это уравнение не имеет рациональных корней. Однако, с помощью численных методов, можно найти приближенные значения корней.

2. Определим знак выражения на интервалах, разделенных найденными корнями:

Используем численные значения для приближенных корней и дополнительные точки:

a) x < корень1: выберем, например, x = -2

2(-2)^4 - 3(-2)^3 + 2(-2)^2 - 3(-2) + 2 = 32 + 24 + 8 + 6 + 2 = 72 > 0

b) корень1 < x < корень2: выберем, например, x = 0

2(0)^4 - 3(0)^3 + 2(0)^2 - 3(0) + 2 = 2 > 0

c) корень2 < x < корень3: выберем, например, x = 1

2(1)^4 - 3(1)^3 + 2(1)^2 - 3(1) + 2 = 2 > 0

d) x > корень3: выберем, например, x = 2

2(2)^4 - 3(2)^3 + 2(2)^2 - 3(2) + 2 = 32 - 24 + 8 - 6 + 2 = 12 > 0

Мы видим, что выражение 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 3x + 2 всегда положительно для всех значений x за исключением, возможно, нескольких точек, где оно равно нулю.

Таким образом, исходное неравенство 2(1+x^2+x^4) ≥ 3(x^3+x) верно для всех значений x.