Question

Довести, що бісектриса зовнішнього кута при вершині рівнобедреного трикутника паралельна основі

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

углы при основании равнобедренного Δ равны ⇒ <A=<C

по теореме внешний угол треугольника = сумме двух внутренних несмежных с ним ⇒ <DBC=<A+<C =2<A

так как BE - биссектриса то <DBE=<EBC=(1/2)DBC=<A

⇒<A=<DBE cоответственные углы равны ⇒ BE║AC

Answer 2

Для доведення, що бісектриса зовнішнього кута при вершині рівнобедреного трикутника паралельна його основі, спочатку зазначимо декілька важливих властивостей.

Припустимо, що у нас є рівнобедрений трикутник ABC, де AB = AC, і P - точка перетину бісектриси зовнішнього кута при вершині A з продовженням основи BC. Зауважимо, що також існує точка Q на протилежній стороні від вершини A, також лежить на бісектрисі зовнішнього кута, і PQ паралельна BC.

Давайте доведемо, що PQ || BC:

1. Розглянемо трикутник ABP та трикутник ACQ: У них AB = AC (за умовою рівнобедреності трикутника ABC) та кут A спільний для обох трикутників.

2. Також, кут BPA та кут CQA є півсумою зовнішнього та внутрішнього кутів при вершині A (бісектриса зовнішнього кута протилежного куту A розділяє його на два рівні кути).

3. Оскільки кут BPA і кут CQA є півсумою зовнішнього та внутрішнього кутів при вершині A, вони є сумою 180 градусів.

4. Таким чином, ми можемо записати: ∠BPA + ∠CQA = 180°.

5. З іншого боку, знаємо, що сума кутів у трикутнику ABC дорівнює 180 градусів: ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°.

6. Так як ∠BAC та ∠ABC дорівнюють один одному (за умовою рівнобедреності трикутника ABC), то можемо переписати: ∠BAC + ∠BAC + ∠ACB = 180°.

7. Після спрощення отримаємо: 2∠BAC + ∠ACB = 180°.

8. Тепер, враховуючи, що ∠BPA + ∠CQA = 180°, можемо прирівняти ці дві рівності: 2∠BAC + ∠ACB = ∠BPA + ∠CQA.

9. Оскільки PQ паралельна BC, знаємо, що ∠ACB = ∠CQA (співпадаючі кути між паралельними прямими та пересекаючими їх трансверсалями).

10. Підставимо ∠CQA замість ∠ACB у рівнянні: 2∠BAC + ∠CQA = ∠BPA + ∠CQA.

11. Віднімемо ∠CQA з обох боків рівняння: 2∠BAC = ∠BPA.

12. Тепер зрозуміло, що ∠BAC і ∠BPA є рівними кутами.

13. Оскільки ∠BAC і ∠BPA є вертикальними кутами, то вони дорівнюють один одному.

14. Отже, у трикутнику ABP кут ∠BPA є кутом при основі, тобто бісектриса зовнішнього кута паралельна основі BC.

Таким чином, ми довели, що бісектриса зовнішнього кута при вершині рівнобедреного трикутника паралельна його основі.