Question

Огромная просьба помочь с решением ЛОДУ: (y+√(xy))dx=xdy

Answer 1

Делим обе части на хdx

$\frac{y}{x} + \sqrt{ \frac{xy}{ {x}^{2} } } = \frac{dy}{dx} \\ \\ \frac{y}{x} + \sqrt{ \frac{y}{ {x} } } = y'$

Замена:

$\frac{y}{x} = t \\ y = tx \\ y' = t'x + t$

Получаем:

$t + \sqrt{t} = t'x + t \\ t'x = \sqrt{t } \\ \frac{dt}{dx} x = \sqrt{t} \\ \int \frac{dt}{ \sqrt{t} } = \int \frac{dx}{x} \\ 2 \sqrt{t} = \ln |x| + \ln |C| \\ \sqrt{t} = \frac{ \ln |Cx| }{2} \\ t = \frac{ \ln ^{2} |Cx| }{4} \\ \frac{y}{x} = \frac{ \ln ^{2} |Cx| }{4} \\ y = \frac{x \ln ^{2} |Cx| }{4} \\ OTBET:y = \frac{x \ln ^{2} |Cx| }{4}$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Для его решения, мы попробуем разделить переменные dx и dy на разные стороны уравнения и проинтегрировать обе части.

Исходное уравнение: (y + √(xy))dx = xdy

Для начала, выразим dy/dx, разделив обе части на (y + √(xy)):

dy/dx = (x/(y + √(xy)))

Теперь выразим dx и dy:

dy = (x/(y + √(xy)))dx

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫(1/(y + √(xy)))dy = ∫xdx

Для интегрирования левой части, воспользуемся заменой переменных. Пусть u = √(xy). Тогда u^2 = xy, и после дифференцирования получим du = (1/2√(xy))(xdy + ydx).

Подставим замену переменных и продолжим интегрирование:

∫(1/(y + √(xy)))dy = ∫(1/(y + u))((2/√(xy))du) = 2∫(1/(y + u))du

= 2∫(1/y + u)du = 2∫(y^(-1) + u)du = 2(ln|y| + u) + C1

Теперь продолжим интегрирование правой части:

∫xdx = x^2/2 + C2

Где С1 и С2 — произвольные константы интегрирования.

Теперь, объединим обе стороны уравнения:

2(ln|y| + √(xy)) + C1 = x^2/2 + C2

Константы интегрирования С1 и С2 могут быть объединены в одну константу С:

2(ln|y| + √(xy)) = x^2/2 + C

Далее, чтобы решить уравнение относительно y, можно разрешить y:

ln|y| + √(xy) = x^2/4 + C/2

ln|y| = x^2/4 + C/2 - √(xy)

Теперь возведем обе стороны в экспоненту:

|y| = e^(x^2/4 + C/2 - √(xy))

Так как у нас абсолютное значение, разделим на два случая:

1. y > 0: y = e^(x^2/4 + C/2 - √(xy))
2. y < 0: y = -e^(x^2/4 + C/2 - √(xy))

Это окончательное общее решение данного дифференциального уравнения.