Question

Решите уравнение 1+4cos2x=1-4cosx​

Answer 1

1+4cos2x=1-4cosx

1+4(2Cos^2x-1)=1-4cosx

1+8cos^2x-4=1-4cosx

1+8cos^2x-4-4+4cosx = 0

8cos^2x+4cosx-3=0

Пусть cosx=t , t принадлежит [-1;1]

8t^2+4t-3=0

D= 4^2-4*8*(-3) = 16+96=112

x1 = (-4-корень из 112)/16 = (-4-4 корень из 7)/16= (-1-корень из 7)/4

x2  = (-4+4корень из 7)/16=(1 + корень из 7)/4

Не один из корней не принадлежит промежутку от минус 1 до 1

Answer 2

Используем формулу косинуса двойного аргумента, он равен косинус в квадрате икс минус синус в квадрате икс, потом введем замену, косинус икс, пусть равен у, где у принадлежит отрезку минус один плюс один. Получим.

1+4(cos²x-sin²x)=1-4cosx

Cоберем все слева, уничтожим единицы и сократим на 4, получим:

cos²x-(1-cos²x)+cosx=0

Раскроем скобки, приведем подобные.

сos²x-1+cos²x+cosx=0

2cos²x+cosx-1=0

2у²+у-1=0

у₁,₂=(-1±√(1+8))/4)

у₁=-1; у₂=1/2

Возвратимся к старым переменным.

cosx=-1

x=π+2πn  ;       где n∈Z

cosx=1/2

x=±arccos1/2+2πn   ; где   n∈Z

х=±π/3+2πn ; где     n∈Z

Answer 3

Для решения данного уравнения, давайте преобразуем его и найдем значение переменной x.

Уравнение: 1 + 4cos(2x) = 1 - 4cos(x)

Сначала сгруппируем термины с cos(x) на одной стороне уравнения, а термины с cos(2x) на другой стороне:

4cos(2x) + 4cos(x) = 0

Теперь заметим, что у нас есть общий множитель, который равен 4. Вынесем его за скобку:

4(cos(2x) + cos(x)) = 0

Теперь, чтобы уравнение равнялось нулю, один из множителей должен быть равен нулю:

cos(2x) + cos(x) = 0

Далее, мы можем воспользоваться формулой суммы косинусов, чтобы переписать уравнение в виде:

2cos^2(x) - 1 + cos(x) = 0

Теперь заметим, что это уравнение является квадратным относительно cos(x). Заменим cos(x) на t и решим уравнение относительно t:

2t^2 - t - 1 = 0

Теперь используем квадратное уравнение, чтобы найти значения t:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 2, b = -1 и c = -1.

t = (1 ± √(1 - 42(-1))) / 2*2 t = (1 ± √(1 + 8)) / 4 t = (1 ± √9) / 4 t = (1 ± 3) / 4

Таким образом, получаем два значения t:

1. t = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1
2. t = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -0.5

Теперь вернемся к исходной переменной cos(x):

1. cos(x) = 1
2. cos(x) = -0.5

Давайте найдем значения x, учитывая ограничения диапазона косинуса:

1. cos(x) = 1 имеет решение x = 0 + 2πk, где k - любое целое число.
2. cos(x) = -0.5 имеет два решения: x = 2π/3 + 2πk и x = 4π/3 + 2πk, где k - любое целое число.

Таким образом, общее множество решений уравнения 1 + 4cos(2x) = 1 - 4cos(x) выглядит следующим образом:

x = 0 + 2πk, где k - любое целое число. x = 2π/3 + 2πk, где k - любое целое число. x = 4π/3 + 2πk, где k - любое целое число.