Question

На сторонах BC, AC, AB равностороннего треугольника АВС даны соответсвенные точки M, N, P. Известно что BM:MC=CN:NA=AP:PD=2. Доказать , что MNP- равносторонний треугольник, найти MN, если BC=а.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Треугольник PBM=MCN=PAN по двум сторонам и углу

Значит PM=MN=PN

Значит треугольник PNM равносторонний

Чтд

Answer 2

Для начала, давайте обозначим длины отрезков следующим образом: BC = a (дано) BM = 2x (по условию BM:MC = 2) MC = x (так как BM:MC = 2) CN = 2y (по условию CN:NA = 2) NA = y (так как CN:NA = 2) AP = 2z (по условию AP:PD = 2) PD = z (так как AP:PD = 2)

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У него все стороны равны, так как он равносторонний. Значит, у него все углы также равны 60 градусов.

Посмотрим на треугольник MNP. Мы знаем, что BM:MC = 2, CN:NA = 2 и AP:PD = 2. Рассмотрим отношения сторон треугольника MNP:

MN:NP = (BM + CN):(MC + NA) = (2x + 2y):(x + y) = 2:1 NP:PM = (CN + AP):(NA + PD) = (2y + 2z):(y + z) = 2:1 PM:MN = (AP + BM):(PD + MC) = (2z + 2x):(z + x) = 2:1

Из полученных отношений следует, что треугольник MNP также равносторонний, так как все его стороны имеют одинаковую длину.

Теперь найдем значение стороны MN. Мы знаем, что BM:MC = 2, значит 2x:x = 2, откуда x = a. Также, из отношения CN:NA = 2 следует, что 2y:y = 2, откуда y = a. Аналогично, из отношения AP:PD = 2 получаем 2z:z = 2, что означает z = a.

Теперь, чтобы найти MN, рассмотрим отношение MN:NP = 2:1, где NP = BC = a (так как треугольник ABC равносторонний). Тогда:

MN = 2 * NP = 2 * a = 2a

Таким образом, сторона MN равна 2a.

Вывод: Треугольник MNP является равносторонним, и сторона MN равна 2a.