Question

Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: y= 2√х, y=2x

Answer 1

Ответ: V≈2,1 куб. ед.

Пошаговое объяснение:

y=2*√x       y=2*x          V=?

2*√x=2*x  |÷2

√x=x

(√x)²=x²

x=x²

x²-x=0

x*(x-1)=0

x₁=0       x₂=1.

V₁=π*₀∫¹(2*√x)²dx=π*₀∫¹(4*x)dx=π*2*x² ₀|¹=π*2*1²-π*2*0²=2*π.

V₂=π*₀∫¹(2*x)²dx=π*₀∫¹(4*x²)dx=π*4*x³/3 ₀|¹=π*4*1³/3-π*4*0³/3=4*π/3.

V=V₁-V₂=2*π-(4/3)*π=(2*π*3-4*π)/3=(6*π-4*π)/3=(2/3)*π≈2,1 куб. ед.

Answer 2

Чтобы вычислить объем тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси абсцисс, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек. Этот метод предполагает, что объем фигуры можно представить в виде суммы объемов бесконечно тонких цилиндров, расположенных вдоль оси вращения.

Для нашей фигуры, ограниченной линиями y = 2√x и y = 2x, нам нужно определить пределы интегрирования и выразить радиус цилиндра в зависимости от x.

Первым шагом будет найти точки пересечения кривых:

y = 2√x и y = 2x

2√x = 2x

√x = x

x = 0 и x = 1

Теперь, чтобы вычислить объем тела, мы можем использовать следующий интеграл:

V = ∫[a, b] π[R(x)]^2 dx,

где: a = 0 (нижний предел интегрирования), b = 1 (верхний предел интегрирования), R(x) - радиус цилиндра (расстояние от оси абсцисс до кривой y = 2x).

Радиус цилиндра R(x) равен 2x, так как это расстояние от оси абсцисс до кривой y = 2x.

Теперь можем вычислить объем:

V = ∫[0, 1] π(2x)^2 dx V = ∫[0, 1] 4πx^2 dx

Вычислим интеграл:

V = 4π * (x^3 / 3) |[0, 1] V = 4π * (1^3 / 3) - 4π * (0^3 / 3) V = 4π/3 - 0 V = 4π/3

Таким образом, объем тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси абсцисс, ограниченной линиями y = 2√x и y = 2x, равен 4π/3.