Question

Знайдіть точки монотонності та точки екстремуму функції у=1/3*х^3-х-3

Answer 1

Пошаговое объяснение:

f '(x)

$= {x}^{2} - 1 \\ {x}^{2} - 1 \geqslant \\ {x}^{2} - 1 = 0 \\ {x}^{2} = 1 \\ {x} = + - 1$

$(x - 1)(x + 1) \geqslant 0$

возрастает

(- бесконечности :-1] и [1;+ бесконечности )

убывает

[-1;1]

$x \: max = - 1 \\ x \: min = 1$

Answer 2

Для знаходження точок монотонності та точок екстремуму функції у=1/3*х^3-х-3, спочатку потрібно знайти похідну цієї функції, а потім розв'язати рівняння f'(x) = 0 для точок екстремуму.

1. Знайдемо похідну функції у: у' = d/dx (1/3*x^3 - x - 3).

Для знаходження похідної, використаємо правила диференціювання: у' = (1/3)d/dx(x^3) - d/dx(x) - d/dx(3). у' = (1/3)(3x^2) - 1 - 0. у' = x^2 - 1.

2. Знайдемо точки монотонності, вирішивши нерівність у' > 0: x^2 - 1 > 0.

Знайдемо критичні точки, де у' = 0: x^2 - 1 = 0, x^2 = 1, x = ±1.

Тепер перевіримо значення у' на інтервалах (-∞, -1), (-1, 1) і (1, +∞) для знаходження знаків:

• Візьмемо значення x = 0 (відповідає інтервалу (-∞, -1)): 0^2 - 1 = -1, що є від'ємним.
• Візьмемо значення x = 2 (відповідає інтервалу (1, +∞)): 2^2 - 1 = 3, що є додатнім.

Знаходимо точки монотонності:

• Функція у строго спадна на інтервалі (-∞, -1).
• Функція у строго зростає на інтервалі (1, +∞).

3. Знайдемо точки екстремуму, підставивши критичні точки x = ±1 у вихідну функцію у=1/3*x^3-x-3:

• Для x = 1: у = 1/3 * 1^3 - 1 - 3 = 1/3 - 1 - 3 = -3 2/3. Отже, маємо точку екстремуму (1, -3 2/3).

• Для x = -1: у = 1/3 * (-1)^3 - (-1) - 3 = -1/3 + 1 - 3 = -5/3. Отже, маємо точку екстремуму (-1, -5/3).

Отже, точки монотонності:

• Функція спадає на інтервалі (-∞, -1).
• Функція зростає на інтервалі (1, +∞).

Точки екстремуму:

• Мінімум у (-3 2/3) при x = 1.
• Максимум у (-5/3) при x = -1.