Question

Найти неопределённый интеграл (x^2+2x+1)ln x dx Подробно

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

интегрируем по частям. ∫и дv=uv-∫vlu,

пусть u=㏑х⇒дu=дх/х; дv= (х²+2х+1)⇒v=(х³/3+х²+х)

∫((х²+2х+1)㏑х)дх=(х³/3+х²+х)㏑х-∫((х²/3+х+1)дх=

(х³/3+х²+х)㏑х-х³/9-х²-х/2-х+с

Answer 3

Для нахождения неопределенного интеграла $\int (x^2 + 2x + 1) \ln x \, dx$ воспользуемся методом интегрирования по частям (integration by parts). Формула интегрирования по частям имеет вид:

$\int u \, dv = uv - \int v \, du,$

где $u$ и $v$ - это функции переменной $x$, а $du$ и $dv$ - их дифференциалы по $x$.

Для данной задачи, давайте выберем:

$u = \ln x \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{x} \, dx,$ $dv = (x^2 + 2x + 1) \, dx \quad \Rightarrow \quad v = \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x.$

Теперь, применим формулу интегрирования по частям:

$\int (x^2 + 2x + 1) \ln x \, dx = uv - \int v \, du.$

Подставим значения $u$, $v$, $du$ и проинтегрируем правую часть:

\int (x^2 + 2x + 1) \ln x \, dx &= \ln x \left(\frac{x^3}{3} + x^2 + x\right) - \int \left(\frac{x^3}{3} + x^2 + x\right) \frac{1}{x} \, dx \\ &= \ln x \left(\frac{x^3}{3} + x^2 + x\right) - \int \left(\frac{x^2}{3} + x + 1\right) \, dx \\ &= \ln x \left(\frac{x^3}{3} + x^2 + x\right) - \left(\frac{x^3}{9} + \frac{x^2}{2} + x\right) + C, \end{aligned}\] где \(C\) - постоянная интегрирования. Таким образом, неопределенный интеграл \(\int (x^2 + 2x + 1) \ln x \, dx\) равен: \[\int (x^2 + 2x + 1) \ln x \, dx = \ln x \left(\frac{x^3}{3} + x^2 + x\right) - \left(\frac{x^3}{9} + \frac{x^2}{2} + x\right) + C,\] где \(C\) - произвольная постоянная.