Question

Катеты прямоугольного треугольника отличаются на 5 см,а меньший из острых углов равен 30 градусов.Вычисли радиус окружности,описанной около этого треугольника

Answer 1

Пусть меньший катет равен х, тогда больший (х+5), а гипотенуза 2х, по свойству катета, лежащего против угла в 30°, он равен половине гипотенузы. А поскольку радиус описанной около  прямоугольного треугольника окружности лежит на средине гипотенузы, то радиус равен 2х/2=х

По теореме ПИфагора для треугольника имеем 4х²=х²+(х+5)²

3х²-10х-25=0

х₁,₂=(10±√(100+300))/6, х₁=5; х₂=-5/3- не подходит по смыслу задачи.

значит, меньший катет, как и половина гипотенузы, как и радиус описанной окружности, равен 5см

Answer 2

Чтобы вычислить радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, нужно знать длины катетов. Пусть x - это длина меньшего катета, а x + 5 - это длина большего катета.

Известно, что меньший из острых углов равен 30 градусов. Это означает, что соответствующий катет (x) против этого угла можно найти, используя тригонометрию:

$\sin(30°) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

В прямоугольном треугольнике гипотенуза - это сама окружность (радиус которой нас интересует), а противолежащий катет - это x. Так как $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2} = \frac{x}{\text{радиус окружности}}$

Теперь, чтобы найти радиус окружности, нужно выразить его из этого уравнения. Умножим обе стороны на 2:

$\text{радиус окружности} = 2x$

Теперь нам нужно найти значение x. Для этого используем информацию, что катеты отличаются на 5 см:

$(x + 5) - x = 5$

Решим уравнение:

$x + 5 - x = 5$ $5 = 5$

Уравнение верное, что говорит о том, что мы верно выбрали угол и длину катетов. Таким образом, x = 5 см.

Теперь подставим значение x в выражение для радиуса окружности:

$\text{радиус окружности} = 2x = 2 \times 5 = 10$

Таким образом, радиус окружности, описанной около этого прямоугольного треугольника, равен 10 см.