Question

Срочно нужна помощь, даю все баллы, что есть! Докажите, что при всех натуральных значениях n значение выражения n³-43n кратно шести.

Answer 1

a = n³- 43n

Заметим, что натуральное число делится на 6 тогда и только тогда, когда на 6 делится число a + 6k, где k — целое число. В частности, число a делится на 6, если число b = a + 42n = n³ - 43n + 42n = n³ - n делится на 6.

Но b = n^3 − n = (n − 1)*n*(n + 1) — произведение трех последовательных натуральных чисел, из которых одно делится на 3 и по крайней мере одно делится на 2. Поэтому число b делится на 6, откуда следует, что число a также делится на 6.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение n³ - 43n кратно шести для всех натуральных значений n, нужно показать, что оно делится на 6 без остатка при всех значениях n.

Для начала, давайте факторизуем выражение n³ - 43n:

n³ - 43n = n(n² - 43)

Теперь рассмотрим два случая:

1. Когда n делится на 6 (n = 6k, где k - натуральное число): Подставим n = 6k в выражение:

   6k(6k² - 43)

   Первое слагаемое 6k делится на 6. Второе слагаемое (6k² - 43) представляет собой разность двух чисел. Один из них делится на 6 (6k²), а 43 - это также число, делящееся на 6, так как 6 * 7 = 42.

   Таким образом, весьма очевидно, что выражение делится на 6.

2. Когда n не делится на 6 (n = 6k + r, где k - натуральное число, r - остаток при делении n на 6): Подставим n = 6k + r в выражение:

   (6k + r)((6k + r)² - 43)

   Первое слагаемое (6k + r) не делится на 6, так как это остаток при делении n на 6. Второе слагаемое ((6k + r)² - 43) представляет собой разность двух чисел. Первое из них ((6k + r)²) делится на 6, так как это квадрат числа, делящегося на 6. Второе ((6k + r)² - 43) также делится на 6, так как оно представляет разность двух чисел, делящихся на 6.

   Таким образом, и в этом случае, выражение делится на 6.

Поэтому, независимо от значения n, выражение n³ - 43n всегда кратно шести.