Question

Знайти криву, яка проходить через точку М(2;5), якщо кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює абсцисі точки дотику. (Геометричний зміст похідної)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

угловой коэффициент касательной к=f'(x₀) где х₀-точка касания

так как х₀ неизвестна то примем х₀=х

по условию задачи f'(x)=x ⇒

f(x)=∫xdx=(x²/2)+c

f(x)=(x²/2)+c  подставим в эту формулу координаты точки С и найдем с

5=(2²/2)+c ; 5=2+c ; c=5-2=3; c=3

подставим с=3 в f(x)=(x²/2)+c

получим f(x)=(x²/2)+3

Answer 2

Геометричний зміст похідної полягає у визначенні кутового коефіцієнта дотичної до кривої в кожній точці. У цьому випадку ми знаємо, що кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює абсцисі точки дотику.

Щоб знайти криву, яка проходить через точку M(2;5) з таким властивостями, ми можемо скористатися фактом, що кутовий коефіцієнт дотичної до кривої є похідною функції у даній точці. Отже, ми повинні знайти функцію, яка має похідну, рівну абсцисі точки дотику.

Щоб знайти таку функцію, інтегруємо абсцису точки дотику за змінною y:

∫dy = ∫x dx

y = 1/2 * x^2 + C

C - це константа інтегрування, яку потрібно визначити. Ми знаємо, що крива проходить через точку M(2;5), тому підставимо ці значення у рівняння, щоб знайти C:

5 = 1/2 * 2^2 + C 5 = 1/2 * 4 + C 5 = 2 + C C = 5 - 2 C = 3

Таким чином, рівняння кривої, яка проходить через точку M(2;5) з кутовим коефіцієнтом дотичної, що дорівнює абсцисі точки дотику, має вигляд:

y = 1/2 * x^2 + 3