Question

при каких значениях параметра а уравнение 2x^3 +x^2 - 4x - 2a = 0 имеет ровно один , причём положительный , корень?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

решить графически уравнение:

2x³+x²-4-2a=0

2x³+x²-4x=2a

1. построить график функции y=2x³+x²-4x

исследуем функцию:

y'=(2x³+x²-4x)'=6x²+2x-4

y'=0, 6x²+2x-4=0 | : 2, 3x²+x-2=0

x₁=-1, x₂=2/3

y'         +                    -                      +    

-----------------(-1)--------------------(2/3)------------------>x

y   возр    max    убыв        min

                y=3                      y= - 2

график во вложении.

Answer 2

Чтобы уравнение имело ровно один положительный корень, необходимо, чтобы график функции $f(x) = 2x^3 + x^2 - 4x - 2a$ касался оси $x$ только в одной точке на положительной полуоси $x$.

Критерий для касания графика функции оси $x$ в определенной точке - это когда функция и её производная равны нулю в этой точке. То есть, для нашей функции:

$f(x) = 2x^3 + x^2 - 4x - 2a$

$f'(x) = 6x^2 + 2x - 4$

Теперь нам нужно решить уравнение $f(x) = 0$ и $f'(x) = 0$ одновременно. И так как у нас есть параметр $a$, то это уравнение тоже нужно учесть:

1. Найдем корни уравнения $f(x) = 0$:

$2x^3 + x^2 - 4x - 2a = 0$

Поскольку нам интересуют только положительные корни, решим это уравнение численно. Для уточнения ответа можно использовать методы численного решения, такие как метод Ньютона.

2. Найдем корни уравнения $f'(x) = 0$:

$6x^2 + 2x - 4 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4)}}{2 \cdot 6} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{12} = \frac{-2 \pm 10}{12}$

$x_1 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}, \quad x_2 = -\frac{12}{12} = -1$

Теперь нужно проверить, при каких значениях параметра $a$ один из корней уравнения $f(x) = 0$ будет совпадать с корнем уравнения $f'(x) = 0$ на положительной полуоси.

Таким образом, условие для единственного положительного корня:

$x_1 = \frac{2}{3}$

$2x^3 + x^2 - 4x - 2a = 0 \quad \text{при} \quad x = \frac{2}{3}$

Подставим $x = \frac{2}{3}$ в уравнение и решим относительно параметра $a$:

$2\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) - 2a = 0$

$\frac{16}{27} + \frac{4}{9} - \frac{8}{3} - 2a = 0$

$2a = \frac{16}{27} + \frac{4}{9} - \frac{8}{3}$

$2a = \frac{16}{27} + \frac{12}{27} - \frac{72}{27}$