Question

В группе по танцам 8 девочек и 8 мальчиков. Организаторы должны распределить их так по двои и обязательно 1 мальчик 1 девочка. Сколькими способами можно их распределить?

Answer 1

Девочку и мальчика можно выбрать $C^1_8$ и $C^1_8$ способами, соответственно, тогда первую пару можно выбрать  $C^1_8\cdot C^1_8=8\cdot8=64$ способами. Поскольку первая пара уже есть, то осталось 7 девочек и 7 мальчиков, тогда вторую пару можно выбрать $C^1_7\cdot C^1_7=7\cdot7=49$  способами. Осталось теперь 6 девочек и 6 мальчиков, тогда третью пару можно выбрать  $C^1_6\cdot C^1_6=6\cdot6=36$ способами и аналогично получим способов $C^1_5C^1_5=25;~C^1_4C^1_4=16;~ C^1_3C^1_3=9;~ C^1_2C^1_2=4;~ C^1_1C^1_1=1$ выбрать четвертую ; пятую; шестую; седьмую; восьмую пару, соответственно

По правилу произведения всего можно сделать (с учетом того, что группы не пронумерованы) $\dfrac{64\cdot 49\cdot36\cdot25\cdot16\cdot9\cdot 4\cdot 1}{8!}=40320$ способами.

Ответ: 40320 способами.

Answer 2

Первый мальчик может выбрать любую из восьми девочек: 8 вариантов.

Второй мальчик может выбрать любую из 7 оставшихся девочек: 8*7 вариантов.

Третий мальчик может выбрать любую из 6 оставшихся девочек: 8*7*6 вариантов.

И т. д.

Всего 8*7*6*5*4*3*2*1 = 8! вариантов.

То есть

8*7*6*5*4*3*2*1 = 56*30*12*2 = 56*30*24 = 40320.

Ответ. 40320.

Answer 3

Для распределения девочек и мальчиков по парам так, чтобы каждая пара состояла из одного мальчика и одной девочки, мы можем использовать сочетания. В данном случае, нам нужно выбрать по одной девочке и одному мальчику из группы.

Количество способов выбрать одну девочку из 8 девочек: C(8, 1) = 8 Количество способов выбрать одного мальчика из 8 мальчиков: C(8, 1) = 8

Поскольку выборы девочки и мальчика независимы, общее количество способов распределения равно произведению этих двух чисел:

Общее количество способов = 8 * 8 = 64

Таким образом, есть 64 способа разделить группу из 8 девочек и 8 мальчиков на пары, при условии, что каждая пара состоит из одного мальчика и одной девочки.