Question

Контрольная «Основные понятия комбинаторики» 1.Сколькими способами можно расставить девять книг на полке, чтобы определенные 4 книги стояли рядом? 2. Студент сдает в сессию 3 экзамена. Сколько существует различных комбинаций оценок, которые он может получить? 3. Необходимо выбрать в подарок четыре книги из десяти. Сколькими способами это можно сделать? 4. По списку в классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать троих дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать при условии, что пару обязательно должны составить мальчик и девочка.

Answer 1

1. Посчитаем эти 4 книги за одну. Тогда есть  6! расстановок. Но эти 4 книги могут тоже быть расположены как угодно (я так понял задачу), т.е 4! Ответ: 6!×4!

2. На сессии есть 4 оценки: отл, хор, удовл и неуд. Ответ: $4^{3} =64$

3. 10×9×8×7=5040

4. 1 ребёнка можно выбрать 15 способами, 2 - 13, последнего - 26. Ответ: 15×13×26=5070

Answer 2

1. Если определенные 4 книги должны стоять рядом, то мы можем считать эту четверку как один "блок". Тогда у нас есть 6 оставшихся книг, которые можно расставить на полке вместе с этим блоком. Следовательно, всего способов будет 6! (перестановок 6 книг) умножить на 4! (перестановок внутри блока из 4 книг), то есть 6! * 4! способов.

2. Для каждого экзамена студент может получить различную оценку, которая может быть, например, из множества {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Поскольку у него 3 экзамена, то всего возможных комбинаций оценок будет 9^3 = 729 комбинаций.

3. Для выбора 4 книг из 10 можно использовать формулу сочетаний. Количество сочетаний из 10 элементов по 4 можно вычислить как 10! / (4! * (10 - 4)!) = 210 способов.

4. Нам нужно выбрать 1 мальчика и 1 девочку для пары дежурных, а третьего дежурного выбрать из оставшихся 27 учеников. Таким образом, общее количество способов выбрать дежурных будет равно: 15 * 13 * 27 = 5265 способов.