Question

Lim (2x*sin2x)/(1-cosx) x->0 Нужно подробное решение без применения правила Лопиталя.

Answer 1

пользуемся таблицей эквивалентностей:

$\lim\limits _{x \to 0} \frac{2x \times \sin (2x)}{1 - \cos x} = \{ \frac{0}{0} \} = \lim\limits _{x \to 0} \frac{2x \times 2x}{ \frac{ {x}^{2} }{2} } = \lim\limits _{x \to 0} \frac{2 \times 4 {x}^{2} }{ {x}^{2} } = \lim\limits _{x \to 0}8 = 8$

ответ: 8

Answer 2

Для решения данного предела без использования правила Лопиталя, мы можем воспользоваться разложением в ряд Тейлора. Воспользуемся следующими приближениями для небольших значений угла:

1. $\sin x \approx x$ для $x \rightarrow 0$.
2. $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ для $x \rightarrow 0$.

Теперь вычислим предел:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{2x \cdot \sin 2x}}{{1 - \cos x}}$

Подставим приближенные значения для $\sin x$ и $\cos x$:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{2x \cdot (2x)}}{{1 - (1 - \frac{x^2}{2})}}$

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{4x^2}}{{\frac{x^2}{2}}}$

Теперь сократим $x^2$:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{4}}{{\frac{1}{2}}}$

$\lim_{{x \to 0}} 8$

Ответ: $\lim_{{x \to 0}} \frac{{2x \cdot \sin 2x}}{{1 - \cos x}} = 8$.