Question

Y"-5y'+6=3x^2+7x-1как решит диф уравнение​

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с constaнтными коэффициентами, можно использовать метод вариации постоянных.

Шаг 1: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения Y'' - 5Y' + 6 = 0.

Характеристическое уравнение данного однородного уравнения имеет вид r^2 - 5r + 6 = 0. Решим его, найдя корни:

(r - 2)(r - 3) = 0

Из этого следует, что r1 = 2 и r2 = 3.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

Yh = C1 * e^(2x) + C2 * e^(3x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения Y'' - 5Y' + 6 = 3x^2 + 7x - 1.

Предположим, что частное решение имеет вид Yp = Ax^2 + Bx + C, где A, B и C - коэффициенты, которые нужно найти.

Подставим это предположение в неоднородное уравнение и продифференцируем два раза:

Yp'' = 2A Yp' = 2Ax + B

Подставим найденные значения в исходное уравнение:

2A - 5(2Ax + B) + 6(Ax^2 + Bx + C) = 3x^2 + 7x - 1

Упростим уравнение и соберем все коэффициенты при одинаковых степенях x:

(A) x^2: 6A = 3 => A = 1/2 (B) x^1: -10A + 6B = 7 => -5 + 3B = 7 => B = 4 (C) x^0: 2A - 5B + 6C = -1 => 1 - 20 + 6C = -1 => C = 3

Таким образом, частное решение имеет вид:

Yp = (1/2)x^2 + 4x + 3.

Шаг 3: Общее решение неоднородного уравнения:

Y = Yh + Yp = C1 * e^(2x) + C2 * e^(3x) + (1/2)x^2 + 4x + 3.

Где C1 и C2 - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий или граничных условий, если они даны.