Question

Найдите количество корней уравнения sin2x-cos2x=1 принадлежащих промежутку [-пи:пи/3]

Answer 1

Используя формулу дополнительного угла, мы получим

$\sqrt{1^2+1^2}\sin\left(2x-\arcsin\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}\right)=1\\ \\ \sqrt{2}\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=1\\ \\ \sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ 2x-\frac{\pi}{4}=(-1)^k\cdot\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x=(-1)^k\cdot\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},k \in \mathbb{Z}$

Отбор корней, принадлежащие [-π; π/3]

k = 0:  x = π/4

k = -1:  x = -π/2

k = -2: x = π/8 + π/8 - π = π/4 - π = -3π/4

Количество корней: 3.

Answer 2

Есть формулы универсальной подстановки. Используем их.

Sin2x - Cos2x = 1

2tgx/(1 + tg²x) - (1 - tg²x)/(1 + tg²x) = 1 |*(1 + tg²x)≠0

2tgx -(1 - tg²x) =(1 + tg²x)

2tgx -1 + tg²x-1 - tg²x = 0

2tgx = 2

tgx = 1

x = arc tg1 + πk , k ∈Z

x = π/4 + πk , k ∈Z

В промежуток [-π; π/]  попадают корни -3π/4 и π/4

Answer 3

Для определения количества корней уравнения sin(2x) - cos(2x) = 1 на интервале [-π:π/3], мы можем проанализировать функцию f(x) = sin(2x) - cos(2x) - 1 на данном интервале и найти количество пересечений графика функции с осью x.

Заметим, что уравнение sin(2x) - cos(2x) = 1 можно переписать в виде sin(2x) - cos(2x) - 1 = 0.

Рассмотрим функцию f(x) = sin(2x) - cos(2x) - 1 на интервале [-π:π/3]:

f(-π) = sin(-2π) - cos(-2π) - 1 = 0 - 1 - 1 = -2 f(π/3) = sin(2π/3) - cos(2π/3) - 1 ≈ 0.5 - (-0.5) - 1 ≈ 1

Функция f(x) непрерывна на данном интервале, и она принимает значения -2 и 1 на его концах. По принципу промежуточного значения, так как функция непрерывна и меняет знак на интервале, она должна пересечь ось x (f(x) = 0) как минимум один раз на этом интервале.

Следовательно, уравнение sin(2x) - cos(2x) = 1 имеет как минимум один корень на интервале [-π:π/3].