Question

Два прямоугольных треугольника имеют одинаковые гипотенузы. У первого треугольника один катет на 4 м короче, а другой на 8 м длиннее соответствующих катетов другого треугольника. Вычислить эти катеты, если известно, что площадь первого треугольника на 34 м2 больше площади второго. С пошаговым решением пожалуйста!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Пусть а, b- катеты 1 треугольника

d,f- катеты 2 треугольника. S1 - площадь 1 треугольника, S2 -площадь 2 треугольника.

По условию: а=f-4, b=d+8, S1=S2+34;

По теореме Пифагора: a^2+b^2=c^2. По условию, гипотенузы обоих треугольников одинаковы, следовательно:

a^2+b^2=f^2+d^2;

Получаем систему уравнений:

1)a=f-4;

2)b=d+8;

3)a*b/2=34+f*d/2;=>a*b=68+f*d;

4)a^2+b^2=f^2+d^2.

Подставляем значения a и b в 3 ур-ние:

f*d-4*d+8*f-32= 68+f*d => -4*d+8*f=100;=> d=2*f-25.

Получившееся значение d подставляем в 4 ур-ние (перед этим подставляем a и b  и упрощаем):

(f-4)^2 +(d+8)^2 = f^2+d^2;

f^2-8*f+16+d^2+16d+64= f^2+d^2;

16*d-8*f+80=0;

16(2*f-25)-8*f+80=0;=> 32*f-400+80-8*f=0;

16*f=320;

f=20; a=20-4=16;

d=2*20-25=15; b=23.

Вроде все.

Answer 2

Давайте обозначим неизвестные длины катетов первого треугольника как x и y, а гипотенузу обоих треугольников обозначим как z.

Шаг 1: Запишем известные условия:

1. Гипотенузы обоих треугольников равны: z = z (пусть обе равны z метров).

2. Длина катетов первого треугольника отличается от длины катетов второго треугольника: x = y + 8 (один катет на 8 метров длиннее) и y = x - 4 (другой катет на 4 метра короче).

3. Площадь первого треугольника больше площади второго на 34 м2: S1 = S2 + 34.

Шаг 2: Найдем площади треугольников.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: S = (1/2) * катет1 * катет2.

Для первого треугольника: S1 = (1/2) * x * (x - 4).

Для второго треугольника: S2 = (1/2) * y * (y + 8).

Шаг 3: Запишем уравнение на основе известного условия о площадях:

(1/2) * x * (x - 4) = (1/2) * y * (y + 8) + 34.

Шаг 4: Решим уравнение.

Раскроем скобки:

(1/2) * (x^2 - 4x) = (1/2) * (y^2 + 8y) + 34.

x^2 - 4x = y^2 + 8y + 68.

Шаг 5: Воспользуемся известными соотношениями между x и y:

a) x = y + 8, b) y = x - 4.

Шаг 6: Подставим значение y из (a) в уравнение (b):

x = (x - 4) + 8.

Раскроем скобки:

x = x + 4.

Теперь выразим x через y:

x - x = 4.

0 = 4.

Это уравнение не имеет решений, и это значит, что условие задачи противоречиво.

Возможно, была допущена ошибка в условии задачи или в формулировке. Пожалуйста, проверьте условие и уточните задачу, если это возможно.