Question

Какое наименьшее значение имеет сумма a+b+c, если ab+bc+ca=1?​

Answer 1

Рассмотрим Выражение (a+b+c)^2

1)Легко показать почему a^2 + b^2 + c^2 или больше равно чем  ab+bc+ca

(a+b+c)^2=a^2 + b^2 + c^2 +2(ab+bc+ca) больше или равно чем 3(ab+bc+ca) (заменяем a^2 + b^2 + c^2 на ab+bc+ca)

Откуда (a+b+c)^2больше или равно 3 и a+b+cбольше или равно корню из трех. Равенство достигается когда a=b=c=1/корень из 3

Answer 2

Для определения наименьшего значения суммы a + b + c при условии ab + bc + ca = 1, воспользуемся методом наименьших квадратов.

Перепишем уравнение ab + bc + ca = 1 в виде: ab + bc + ca - 1 = 0

Теперь рассмотрим это уравнение как квадратное уравнение относительно переменной a: a^2 + (b + c)a + (bc - 1) = 0

Это квадратное уравнение имеет два корня, a1 и a2, которые могут быть найдены с использованием формулы квадратного корня: a1,2 = (-b - c ± √(b^2 + c^2 - 4(bc - 1))) / 2

Сумма a + b + c равна -(b + c) (поэтому наше квадратное уравнение можно представить в таком виде). Таким образом, для нахождения наименьшего значения суммы a + b + c, необходимо минимизировать -(b + c).

Обратим внимание, что в уравнении a^2 + (b + c)a + (bc - 1) = 0 коэффициенты при a и a^2 равны 1 и (b + c) соответственно. Это означает, что дискриминант этого уравнения будет связан с минимальным значением суммы -(b + c).

Дискриминант D квадратного уравнения a^2 + (b + c)a + (bc - 1) = 0 равен: D = (b + c)^2 - 4(bc - 1)

Так как мы ищем наименьшее значение суммы a + b + c, мы также ищем наименьшее значение -(b + c). Следовательно, ищем наименьшее значение дискриминанта D.

Для нахождения наименьшего значения D, необходимо рассмотреть два случая:

1. Если (b + c)^2 - 4(bc - 1) ≥ 0, то уравнение имеет решения вещественные числа, и существует такое значение a, при котором сумма a + b + c будет наименьшей. В этом случае, наименьшее значение суммы a + b + c будет равно -D / 2(b + c).

2. Если (b + c)^2 - 4(bc - 1) < 0, то уравнение не имеет вещественных решений, и сумма a + b + c не имеет наименьшего значения.

Итак, чтобы определить наименьшее значение суммы a + b + c при условии ab + bc + ca = 1, необходимо рассмотреть дискриминант D уравнения a^2 + (b + c)a + (bc - 1) = 0.

Если D ≥ 0, наименьшее значение суммы a + b + c будет равно -D / 2(b + c). Если D < 0, сумма a + b + c не имеет наименьшего значения.