Question

При каком положительном k система имеет единственное решение: 4x+ky=26 x^2+y^2=13

Answer 1

{4x+ky=26
{x²+y²=13

4х=(26-ky)|÷4
x=(26-ky)/4

((26-ky)/4)²+y²=13
((26-ky)²/16)+y²=13|×16
(26-ky)²+16y²=208
26²-2×26×ky+k²y²+16y²=208
676-52ky+k²y²+16y²-208=0
k²y²+16y²-52ky+468=0
(k²+16)y²-52ky+468=0

Квадратное уравнение имеет один корень, когда дескрименант равен нулю.

b²-4ac=D

a=(k²+16)
b=(-52k)
c=468
D=0

(-52k)²-4×(k²+16)×468=0
2704k²-1872×(k²+16)=0
2704k²-1872k²-29952=0
832k²-29952=0
832k²=29952|÷832

k²=36

k1=6 - является решением, так как в условии спрашивается при каком положительном значении k.

k2=(-6).

Проверка:

{4x+ky=26
{x²+y²=13

{4x+6у=26
{x²+y²=13


4х=(26-6y)|÷4
x=(26-6y)/4
х=(26/4)-(6у/4)

х=(6,5-1,5у)


х²+y²=13

(6,5-1,5у)²+у²=13

6,5²-2×6,5×1,5у+(-1,5у)²+у²-13=0

42,25-19,5y+2,25у²+у²-13=0

3,25у²-19,5у+29,25=0

D²=(-19,5)²-4×3,25×29,25

D²=380,25-380,25

D²=0

D=0 => y=(-b)/2×a

y=(-(-19,5))/2×3,25

y=(19,5/6,5)

y=3

х=(6,5-1,5у)
x=(6,5-1,5×3)
x=(6,5-4,5)

x=2

{4x+6у=26
{x²+y²=13

4×2+6×3=26
8+18=26
26=26-истина

2²+3²=13
4+9=13
13=13-истина.

Ответ: При k=6, система уравнений имеет единственное решение (2;3).

Answer 2

Для определения значения положительного числа k, при котором система имеет единственное решение, нужно рассмотреть геометрическую интерпретацию этой системы уравнений.

Первое уравнение, 4x + ky = 26, представляет собой линию в координатной плоскости (x, y). Второе уравнение, x^2 + y^2 = 13, является уравнением окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом sqrt(13).

Чтобы система имела единственное решение, линия и окружность должны пересекаться в единственной точке.

Если значение k подобрано таким образом, что линия и окружность пересекаются в двух точках, то система будет иметь бесконечное количество решений. Если они не пересекаются вообще, система не имеет решений.

Чтобы найти такое значение k, рассмотрим ситуацию, когда линия и окружность касаются друг друга. В этом случае, линия будет касательной к окружности, и точка касания будет единственной точкой пересечения.

Для решения этой задачи можно использовать метод подстановки. Подставим выражение из первого уравнения (4x + ky) во второе уравнение:

(4x + ky)^2 + y^2 = 13

Раскроем скобки:

16x^2 + 8xyk + k^2y^2 + y^2 = 13

Приведем подобные слагаемые:

(16 + k^2)y^2 + 8xyk + y^2 = 13

(16 + k^2 + 1)y^2 + 8xyk = 13

(17 + k^2)y^2 + 8xyk = 13

Заметим, что уравнение имеет вид:

Ay^2 + Bxy + C = 0

где A = 17 + k^2, B = 8k и C = 13.

Чтобы уравнение имело единственное решение, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:

D = B^2 - 4AC = 0

(8k)^2 - 4(17 + k^2)(13) = 0

64k^2 - 4(17 + k^2)(13) = 0

64k^2 - 4(221 + 13k^2) = 0

64k^2 - 884 - 52k^2 = 0

12k^2 - 884 = 0

12k^2 = 884

k^2 = 884/12

k^2 = 73.67

Так как k должно быть положительным, полученное значение k^2 не удовлетворяет условию. Это означает, что нет положительного значения k, при котором система имеет единственное решение.