Question

Из урны, содержащей 3 белых и 33 черных шаров, извлекают по одному шару без возвращения до первого появления шара черного цвета. Найдите математическое ожидание числа вынутых белых шаров.

Answer 1

Случайная величина X - число вынутых белых шаров.

Опыт может быть проведен один раз, если черный шар появится сразу: $P(X=0)=\dfrac{33}{36}=\dfrac{11}{12}$

Если же в первый раз извлекли белый шар, а при втором извлечении появился черный шар, то

$P(X=1)=\dfrac{3}{36}\cdot \dfrac{33}{35}=\dfrac{11}{140}$

Если же при втором извлечении появился белый шар, а и при третьем черный шар, то

$P(X=2)=\dfrac{3}{36}\cdot \dfrac{2}{35}\cdot \dfrac{33}{34}=\dfrac{11}{2380}$

Аналогично

$P(X=3)=\dfrac{3}{36}\cdot\dfrac{2}{35}\cdot\dfrac{1}{34}\cdot\dfrac{33}{33}=\dfrac{1}{7140}$

$P(X=4)=0$

Xi        0             1             2            3

Pi      11/12      11/140    11/2380   1/7140

Случайная величина Х распределена дискретно

Математическое ожидание дискретной случайной величины X:

$MX=0\cdot \dfrac{11}{12}+1\cdot\dfrac{11}{140}+2\cdot\dfrac{11}{2380}+3\cdot\dfrac{1}{7140}=\dfrac{3}{34}$

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся методом индикаторов.

Пусть X_i - индикаторная случайная величина, которая равна 1, если на i-м шаге был вынут белый шар, и равна 0 в противном случае.

Мы хотим найти математическое ожидание числа вынутых белых шаров, то есть E(X), где X = X_1 + X_2 + ... + X_n, а n - число шагов до первого появления черного шара.

Поскольку каждая индикаторная случайная величина X_i имеет два возможных значения (1 или 0), мы можем записать X как сумму независимых и одинаково распределенных случайных величин.

Теперь рассмотрим вероятность P(X_i = 1) - вероятность вытащить белый шар на i-м шаге. Первый шаг гарантированно будет белым, поэтому P(X_1 = 1) = 1.

На втором шаге вероятность вытащить белый шар равна P(X_2 = 1) = (количество белых шаров в урне после первого шага) / (общее количество шаров в урне после первого шага) = 3 / 35.

Аналогично, на третьем шаге вероятность вытащить белый шар равна P(X_3 = 1) = (количество белых шаров в урне после второго шага) / (общее количество шаров в урне после второго шага) = 2 / 34.

Продолжая таким образом, на i-м шаге вероятность вытащить белый шар будет равна P(X_i = 1) = (количество белых шаров в урне после (i-1)-го шага) / (общее количество шаров в урне после (i-1)-го шага) = (3 - i + 1) / (35 - i + 1).

Теперь мы можем вычислить математическое ожидание E(X) следующим образом:

E(X) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n).

E(X_1) = P(X_1 = 1) = 1, E(X_2) = P(X_2 = 1) = (3 - 1 + 1) / (35 - 1 + 1) = 3 / 35, E(X_3) = P(X_3 = 1) = (3 - 2 + 1) / (35 - 2 + 1) = 2 / 34, ...

E(X_n) = P(X_n = 1) = (3 - n + 1) / (35 - n + 1).

Таким образом, математическое ожидание числа вынутых белых шаров:

E(X) = E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n) = 1 + (3 / 35) + (2 / 34) + ... + [(3 - n + 1) / (35 - n + 1)].

Здесь n - число шагов до первого появления черного шара, и в нашем случае n может принимать значения от 1 до 33, так как после 33-го шага у нас останется только 1 черный шар в урне.

Для нахождения численного значения математического ожидания нужно вычислить сумму:

E(X) = 1 + (3 / 35) + (2 / 34) + ... + [(3 - n + 1) / (35 - n + 1)].

Обратите внимание, что в этом ответе мы использовали данные, предоставленные в начале вопроса (3 белых и 33 черных шара).