Question

Есть ли среди чисел 7^n+7^k квадраты целых чисел

Answer 1

Ответ:

нет, если n и k - натуральные числа!

Пошаговое объяснение:

Воспользуемся таким свойством: квадрат натурального (или целого) числа при делении на 3 дает остаток 0 или 1.

7 в любой натуральной степени при делении на 3 дает остаток 1

в качестве доказательства можно сделать следующее:

$7=6+1 \\ 7^n=(6+1)^n=6^n+a_1*6^{n-1}+a_2*6^{n-2}+...+a_{n-1}*6+1$

каждое слагаемое, кроме последнего делится на 6, а значит делится и на 3. Последнее слагаемое (единица) при делении на 3 дает остаток 1.

Значит все выражение при делении на 3 дает остаток 1.

Таким образом 7ⁿ можно переписать как 3a+1, a∈N (3 a показывает, что число делится на 3; 1 означает, что получается остаток 1)

Также 7^k=3b+1, тогда

$7^n+7^k=3a+1+3b+1=3(a+b)+2$

первое слагаемое делится на 3, а второе означает остаток.

То есть если 7^n+7^k поделить на 3, получится остаток 2, что невозможно для квадрата целого числа!

Answer 2

Да, среди чисел вида 7^n + 7^k, где n и k - целые числа, могут быть квадраты целых чисел. Рассмотрим несколько примеров:

1. Пусть n = 2 и k = 2, тогда 7^n + 7^k = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98 = 7^2 * 2. Здесь число 7^2 * 2 является квадратом целого числа (7 * √2)^2 = 49 * 2 = 98.

2. Пусть n = 3 и k = 1, тогда 7^n + 7^k = 7^3 + 7^1 = 343 + 7 = 350 = 7^2 * 5. Здесь число 7^2 * 5 также является квадратом целого числа (7 * √5)^2 = 49 * 5 = 245.

3. Пусть n = 4 и k = 0, тогда 7^n + 7^k = 7^4 + 7^0 = 2401 + 1 = 2402 = 7^2 * 2^2 * 7. В данном случае число 7^2 * 2^2 * 7 является квадратом целого числа (2 * 7)^2 = 196.

Это лишь несколько примеров, и в общем случае можно найти другие комбинации значений n и k, при которых число 7^n + 7^k будет являться квадратом целого числа.