Question

Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA1B1C1D1 с основаниями ABCD и A1B1C1D1. Точка M— середина ребраB1C1.ПрямыеCA1иBMперпендикулярны. Докажите, что диагональ основания призмы вдвое больше бо-кового ребра

Answer 1

Пусть сторона основания а, высота призмы h.

Пусть С - начало координат.

Ось X - СВ

Ось У - СD

Ось Z - СС1

Вектора

СА1 (а;а;h)

и

ВМ (-а/2;0;h)

по условию перпендикулярны ,

а значит

СА1 * ВМ =0

-а^2/2+h^2 = 0

а = √2h

Диагональ основания

√2 a = 2h

вдвое больше бокового ребра

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим данную призму ABCDA1B1C1D1 и использовать данную информацию:

1. Точка M является серединой ребра B1C1.
2. Прямые CA1 и BM перпендикулярны.

Давайте обозначим следующие величины:

• Пусть E - точка пересечения прямых CA1 и BM.
• Пусть h - высота призмы (расстояние между плоскостями оснований ABCD и A1B1C1D1).
• Пусть a - длина бокового ребра призмы (расстояние между вершинами A и A1).
• Пусть b - длина диагонали основания призмы (расстояние между вершинами A и C).

Теперь предпримем следующие шаги для доказательства утверждения:

Шаг 1: Докажем, что треугольник A1MB прямоугольный.

Так как прямые CA1 и BM перпендикулярны, и M является серединой ребра B1C1, то треугольник A1MB является прямоугольным, и точка M - его прямой угол.

Шаг 2: Выразим высоту h через a.

Обратим внимание, что треугольник AE1C подобен треугольнику A1MB (по двум перпендикулярным сторонам):

• Угол BMA1 (поскольку M - середина) равен углу CAA1 (перпендикулярные прямые).
• Угол CAA1 равен углу CBE1 (перпендикулярные прямые).
• Тогда угол CBE1 равен углу E1CA (по свойству подобных треугольников).

Таким образом, треугольник AE1C подобен треугольнику A1MB соответственно.

Из подобия треугольников AE1C и A1MB можно записать соотношение между их сторонами: AE1 / A1M = CE1 / MB.

Так как точка M является серединой ребра B1C1, а призма правильная, то A1M = MB = a (длина бокового ребра).

Теперь заметим, что AE1 = h (высота призмы), а CE1 = b/2 (половина длины диагонали основания). Запишем полученное соотношение: h / a = (b/2) / a.

Шаг 3: Находим длину диагонали основания b.

Преобразуем соотношение, чтобы найти b: h / a = (b/2) / a, 2h = b, b = 2h.

Шаг 4: Доказываем, что диагональ основания призмы вдвое больше бокового ребра.

Мы уже выразили b через h, и получили, что b = 2h. Теперь мы должны показать, что диагональ основания (b) вдвое больше бокового ребра (a).

b / a = (2h) / a = 2.

Таким образом, диагональ основания призмы действительно вдвое больше бокового ребра, что и требовалось доказать.