Question

При якому значенні параметра а рівняння (|x|-2)(|x|-4)=2-a має три розв'язки?

Answer 1

Ответ:

a=-6

Пошаговое объяснение:

(|x|-2)(|x|-4)=2-a

(|x|-2)(|x|-4)-2+a=0

рассмотрим функцию f(x)=(|x|-2)(|x|-4)-2+a

Она непрерывна на всей числовой оси.

f(-x)=(|-x|-2)(|-x|-4)-2+a=(|x|-2)(|x|-4)-2+a=f(x) ⇒ функция четная.

Если четная функция имеет НЕчетное количество корней, то один из них обязательно будет 0.

для уравнения: (|x|-2)(|x|-4)=2-a, при х=0, получаем

(0-2)(0-4)=2-a

-2*(-4)=2-a

8=2-a

a=2-8

a=-6 - при таком значении a уравнение имеет нечетное число различных корней.

Проверим, будет ли их ровно 3:

$(|x|-2)(|x|-4)=2+6 \\ \\(|x|-2)(|x|-4)=8 \\ \\ \left[ \begin{gathered} \left\{\begin{matrix}x\geq 0;\\ (x-2)(x-4)=8; \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{\begin{matrix}x\geq 0;\\ x^2-6x=0; \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{\begin{matrix}x\geq 0;\\ \left[ \begin{gathered}x=0 \\x=6 \end{gathered} \right. ; \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x$

Действительно, при a=-6 получилось 3 корня!

Ответ: a=-6

Answer 2

Щоб рівняння (|x|-2)(|x|-4)=2-a мало три розв'язки, потрібно, щоб ліва частина рівняння мала нульовий дискримінант. Давайте з'ясуємо при якому значенні параметра а це станеться.

Ліва частина рівняння має вигляд: (|x| - 2)(|x| - 4)

Модуль може мати два варіанти значень для будь-якого від'ємного числа x:

1. |x| = x, якщо x ≥ 0
2. |x| = -x, якщо x < 0

Отже, маємо два випадки для розв'язку рівняння:

1. (x - 2)(x - 4) = 2 - a, якщо x ≥ 0
2. (-x - 2)(-x - 4) = 2 - a, якщо x < 0

Розглянемо перший випадок: (x - 2)(x - 4) = 2 - a

Розкриємо дужки та перенесемо усі члени в ліву сторону: x^2 - 6x + 8 = 2 - a x^2 - 6x + (8 + a - 2) = 0 x^2 - 6x + (a + 6) = 0

Тепер розглянемо другий випадок: (-x - 2)(-x - 4) = 2 - a

Розкриємо дужки та перенесемо усі члени в ліву сторону: x^2 + 6x + 8 = 2 - a x^2 + 6x + (8 + a - 2) = 0 x^2 + 6x + (a + 6) = 0

Тепер ми маємо два квадратних рівняння. Щоб вони мали по два розв'язки, їх дискримінанти повинні бути не менше нуля:

Для першого випадку: D1 = (-6)^2 - 4 * 1 * (a + 6) ≥ 0 36 - 4(a + 6) ≥ 0 36 - 4a - 24 ≥ 0 12 - 4a ≥ 0 12 ≥ 4a a ≤ 3

Для другого випадку: D2 = 6^2 - 4 * 1 * (a + 6) ≥ 0 36 - 4(a + 6) ≥ 0 36 - 4a - 24 ≥ 0 12 - 4a ≥ 0 12 ≥ 4a a ≤ 3

Отже, умова для того, щоб рівняння (|x|-2)(|x|-4)=2-a мало три розв'язки, полягає в тому, що параметр а повинен бути менше або дорівнювати 3: a ≤ 3.