Question

Докажите, что (1/1001)+(1/1002)+...+(1/2000) > 1/2

Answer 1

Всего дробей в левой части 2000-1001+1=1000. При этом любая из этих дробей не меньше 1/2000. Тогда, заменив каждую дробь на 1/2000, получим: 1/1001+1/1002+...+1/2000>1/2000+1/2000+...+1/2000=1000*1/2000=1/2.

Ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства рассмотрим сумму (1/1001) + (1/1002) + ... + (1/2000). Обратим внимание, что знаменатель каждого дробного слагаемого в данной сумме находится в диапазоне от 1001 до 2000. Мы можем переписать данную сумму следующим образом:

(1/1001) + (1/1002) + ... + (1/2000) = [(1/1001) + (1/2000)] + [(1/1002) + (1/1999)] + ... + [(1/1500) + (1/1501)]

Обратимся к каждой паре скобок в правой части выражения. Заметим, что для всех пар дробей, первое слагаемое будет меньше второго слагаемого. Например, (1/1001) < (1/2000), (1/1002) < (1/1999) и так далее. Так как каждое следующее слагаемое больше предыдущего, можно сделать вывод, что:

(1/1001) + (1/2000) < (1/1001) + (1/1002) + ... + (1/2000)

Таким образом, мы можем утверждать, что:

(1/1001) + (1/2000) < (1/1001) + (1/1002) + ... + (1/2000) < (1/2000) + (1/1999)

Поэтому:

[(1/1001) + (1/2000)] + [(1/1002) + (1/1999)] + ... + [(1/1500) + (1/1501)] < (1/1001) + (1/2000) + (1/2000) + (1/1999)

Мы можем упростить это выражение:

(1/1001) + (1/2000) + (1/2000) + (1/1999) = (1/1001) + 2*(1/2000) + (1/1999) = (1/1001) + (1/1000) + (1/1999)

Теперь рассмотрим вторую часть неравенства. Заметим, что (1/1001) > (1/1001), (1/1000) > (1/1002), (1/1999) > (1/2000). Так как каждое следующее слагаемое больше предыдущего, мы можем утверждать, что:

(1/1001) + (1/1000) + (1/1999) > (1/1001) + (1/1002) + ... + (1/2000)

Таким образом, мы получаем:

(1/1001) + (1/2000) + (1/2000) + (1/1999) > (1/1001) + (1/1002) + ... + (1/2000)

Объединяя оба неравенства, получаем:

[(1/1001) + (1/2000)] + [(1/1002) + (1/1999)] + ... + [(1/1500) + (1/1501)] < (1/1001) + (1/2000) + (1/2000) + (1/1999) > (1/1001) + (1/1002) + ... + (1/2000)

Так как сумма находится между двумя выражениями, каждое из которых больше (1/2), то мы можем заключить, что:

(1/1001) + (1/1002) + ... + (1/2000) > 1/2

Таким образом, мы доказали, что сумма (1/1001) + (1/1002) + ... + (1/2000) больше чем 1/2.