Question

Решить дифференциальное уравнение: y”+4y=1/sin^2x

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

$y''+4y=0$

Воспользовавшись заменой Эйлера $y=e^{kx}$, получим характеристическое уравнение

$k^2+4=0\\ k=\pm2i$

Общее решение однородного дифференциального уравнения:

$\overline{y}=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x$

Применяем метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения в виде $y^*=A(x)\cos 2x+B(x)\sin 2x$

$\displaystyle \left \{ {{A'(x)\cos 2x+B'(x)\sin 2x=0} \atop {-2A'(x)\sin 2x+2B'(x)\cos 2x}=\frac{1}{\sin^2x}} \right.$

Получили систему линейных уравнений с неизвестными A'(x) и B'(x) Определитель матрицы коэффициентов (вронскиан с решениями $y_1$ и $y_2$)

$W_{y_1,y_2}(x)=\left|\begin{array}{ccc}y_1(x)&y_2(x)\\ y_1'(x)&y_2'(x)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}\cos2x&\sin 2x\\ -2\sin2x&2\cos 2x\end{array}\right|=\\ \\ \\ =2\cos^22x+2\sin^22x=2(\cos^22x+\sin^22x)=2\cdot 1=2$

$W_1(x)=\left|\begin{array}{ccc}0&\sin 2x\\ \frac{1}{\sin^2x}&2\cos 2x\end{array}\right|=-\dfrac{\sin 2x}{\sin^2x}=-\dfrac{2\sin x\cos x}{\sin^2x}=-\dfrac{2\cos x}{\sin x}\\ \\ W_2(x)=\left|\begin{array}{ccc}\cos 2x&0\\ -2\sin2x&\frac{1}{\sin^2x}\end{array}\right|=\dfrac{\cos 2x}{\sin^2x}=\dfrac{1-2\sin^2x}{\sin^2x}=\dfrac{1}{\sin^2x}-2$

Находим решения системы

$A'(x)=\dfrac{W_1(x)}{W_{y_1,y_2}(x)}=-\dfrac{2\cos x}{2\sin x}=-\dfrac{\cos x}{\sin x}\\ \\ \displaystyle A(x)=\int -\dfrac{\cos x}{\sin x}dx=-\int\dfrac{d(\sin x)}{\sin x}=-\ln|\sin x|=\ln\bigg|\dfrac{1}{\sin x}\bigg|$

$B'(x)=\dfrac{W_2(x)}{W_{y_1,y_2}(x)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-2\right)\\ \\ B(x)\displaystyle =\dfrac{1}{2}\int\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-2\right)dx=\dfrac{1}{2}\left(-{\rm ctg}\, x-2x\right)=-x-\dfrac{{\rm ctg}\, x}{2}$

Частное решение: $y^*=\ln\bigg|\dfrac{1}{\sin x}\bigg|\cos 2x+\left(-x-\dfrac{{\rm ctg}\, x}{2}\right)\sin 2x$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

$y=\overline{y}+y^*=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x+\ln\bigg|\dfrac{1}{\sin x}\bigg|\cos 2x+\left(-x-\dfrac{{\rm ctg}\, x}{2}\right)\sin 2x$

Answer 2

Метод вариации произвольной постоянной .

$y''+4y=\frac{1}{sin^2x}\\\\1)\; \; k^2+4=0\; \; \to \; \; k^2=-4\; ,\; \; k_{1,2}=\pm 2i\\\\y_{o.o.}=C_1\cdot cos2x+C_2\cdot sin2x\\\\2)\; \; y=C_1(x)\cdot cos2x+C_2(x)\cdot sin2x\\\\\left\{\begin{array}{cc}C_1'(x)\cdot cos2x+C_2'(x)\cdot sin2x=0\qquad \qquad \\C_1'(x)\cdot (-2sin2x)+C_2'(x)\cdot 2cos2x=\frac{1}{sin^2x}\end{array}\right.\\\\\\W=\left|\begin{array}{cc}cos2x&sin2x\\-2sin2x&2cos2x\end{array}\right|=2cos^22x+2sin^22x=2\ne 0$

$W_1=\left|\begin{array}{cc}0&sin2x\\\frac{1}{sin^2x}&2cos2x\end{array}\right|=-\frac{sin2x}{sin^2x}=-\frac{2\, sinx\, cosx}{sin^2x}=-\frac{2\, cosx}{sinx}\\\\\\C_1'(x)=\frac{W_1}{W}=-\frac{2\, cosx}{sinx\, \cdot 2}=-\frac{cosx}{sinx}\\\\C_1(x)=-\int \frac{cosx}{sinx}\, dx=-\int \frac{d(sinx)}{sinx}=-ln|sinx|+C^*$

$W_2=\left|\begin{array}{cc}cos2x&0\\-2sin2x&\frac{1}{sin^2x}\end{array}\right|=\frac{cos2x}{sin^2x}=\frac{1-2sin^2x}{sin^2x}=\frac{1}{sin^2x}-2\\\\\\C_1'(x)=\frac{W_2}{W}=\frac{1}{2sin^2x}-1\\\\C_2(x)=\int (\frac{1}{2sin^2x}-1)\, dx=-\frac{1}{2}\, ctgx-x+C^{**}\\\\\\y_{o.n.}=C_1cos2x+C_2sin2x+(-ln|sinx|+C^*)\, cos2x+(-\frac{1}{2}\, ctgx-x+C^{**})\, sin2x=\\\\=(C_1-ln|sinx|+C^*)\, cos2x+(C_2-\frac{1}{2}\, ctgx-x+C^{**})\, sin2x\\\\\\y_{o.n.}=(\widetilde {C_1}-ln|sinx|)\cdot cos2x+(\widetilde {C_2}-\frac{1}{2}\cdot ctgx-x)\cdot sin2x$

Answer 3

Для решения данного дифференциального уравнения, называемого уравнением Ламэ, мы можем воспользоваться методом вариации постоянных. Давайте начнем.

Пусть y_p(x) будет частным решением данного уравнения. Тогда общее решение будет иметь вид y(x) = y_h(x) + y_p(x), где y_h(x) - общее решение однородной части уравнения.

1. Найдем общее решение однородной части уравнения: Для однородного уравнения y'' + 4y = 0 характеристическое уравнение будет иметь вид r^2 + 4 = 0.

Решая это квадратное уравнение, получим два комплексных корня: r_1 = 2i и r_2 = -2i.

Таким образом, общее решение однородной части будет иметь вид: y_h(x) = c_1cos(2x) + c_2sin(2x),

где c_1 и c_2 - произвольные постоянные.

2. Найдем частное решение y_p(x) для неоднородной части уравнения: Исходя из правой части уравнения, предположим, что y_p(x) имеет вид: y_p(x) = A/sin^2(x),

где A - постоянная, которую нужно найти.

Теперь продифференцируем дважды y_p(x) и подставим полученные выражения в исходное уравнение:

y_p'(x) = -2A/sin(x)cos(x), (1) y_p''(x) = 2A(1/sin^2(x) - 2cos^2(x)/sin^4(x)). (2)

Подставим (1) и (2) в исходное уравнение: 2A*(1/sin^2(x) - 2cos^2(x)/sin^4(x)) + 4A/sin^2(x) = 1/sin^2(x).

Упростим полученное уравнение: 2A/sin^2(x) - 4Acos^2(x)/sin^4(x) + 4A/sin^2(x) = 1/sin^2(x), 4A/sin^2(x) - 4Acos^2(x)/sin^4(x) = 1/sin^2(x), 4A - 4A*cos^2(x)/sin^2(x) = 1.

Упростим дальше: 4A - 4A*(1 - sin^2(x))/sin^2(x) = 1, 4A - 4A + 4A*sin^2(x)/sin^2(x) = 1, 4A = 1, A = 1/4.

Таким образом, найденное частное решение будет: y_p(x) = 1/4 * (1/sin^2(x)).

3. Общее решение: Теперь мы можем записать общее решение исходного уравнения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1cos(2x) + c_2sin(2x) + 1/4 * (1/sin^2(x)).

Где c_1 и c_2 - произвольные постоянные. Это является окончательным решением данного дифференциального уравнения.