Question

Вычислить объем тела V ограниченного поверхностями Плотность тела V считать равной 1.(задание нужно выполнить с помощью двойного интеграла)​

Answer 1

$z=\dfrac{x^2+y^2}{2}$ - эллиптический параболоид. В сечении $z=z_0$, параллельном плоскости xОy, получаем окружность с радиусом $\sqrt{2z_0}$ и центром в начале координат.

$z=4-y$ - плоскость, параллельная оси Ox. В сечении $z=z_0$, параллельном xOy получаем прямую $y=4-z_0$.

Найдем, где графики пересекаются, приравняв их уравнения: $\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{2}=4-y\\ x^2+y^2=8-2y\\ x^2+(y+1)^2=3^2$

В проекции на xOy получаем окружность радиуса 3 $x^2+(y+1)^2=3^2$. Пределы по x будут $\pm \sqrt{9-(y+1)^2}$, по y будут 3-1=2 и -3-1=-4.

Вычисление интеграла в приложении.

Answer 2

Для вычисления объема тела V ограниченного поверхностями, когда плотность тела равна 1, можно воспользоваться двойным интегралом в декартовых координатах.

Предположим, что тело V ограничено поверхностями z = f(x, y), z = 0, x = a и x = b, y = c и y = d. Тогда объем тела V можно вычислить следующим образом:

V = ∬_D f(x, y) dA,

где D - проекция области V на плоскость xy.

Для вычисления данного двойного интеграла, мы должны знать функцию f(x, y) и область D, ограничивающую тело V.

Пожалуйста, предоставьте функцию f(x, y) и область D, чтобы я мог выполнить расчет объема тела V. Если у вас есть конкретная функция и область, пожалуйста, укажите их, и я смогу продолжить вычисления.