Question

Ab(a-b)≤a^3-b^3 если а≥b докажите что

Answer 1

$a\geq b=>(a-b)\geq 0=>(a-b)(a^2+b^2)\geq 0=>ab(a-b)\leq ab(a-b)+(a-b)(a^2+b^2)=(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

Ч.т.д.

Answer 2

Давайте докажем это утверждение по предположению, что $a \geq b$.

Начнем с левой стороны неравенства:

$ab - ab \leq a^3 - b^3$

Упростим его:

$0 \leq a^3 - b^3$

Теперь факторизуем разность кубов по формуле:

$0 \leq (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Поскольку $a \geq b$, мы знаем, что $a - b \geq 0$.

Также, поскольку $a$ и $b$ являются неотрицательными числами, каждый из следующих квадратных членов также будет неотрицательным:

$a^2 \geq 0,\ ab \geq 0,\ b^2 \geq 0$

Таким образом, $(a^2 + ab + b^2) \geq 0$.

Таким образом, мы имеем:

$0 \leq (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Исходное неравенство доказано.