Question

Показать, что квадрат целого числа не может иметь вид: 3k-1, k∈N

Answer 1

Пусть имеем целое число a, рассмотрим следующее разложение a=3p+q, где q-остаток от деления a на 3 и может равняться 0,1,2. Возведем a в квадрат и получим a^2=3p^2+6pq+q^2, как видно, только q^2 не делится на 3. q^2 может быть 0,1 и 4. Остаток от деления 4 на 3 - 1, значит у a^2 могут быть остатки 0 и 1. У 3k-1 остаток от деления -1, что соответствует остатку 2, а значит a^2=3k-1 - неверное утверждение

Answer 2

Докажем от противного. Предположим, что квадрат целого числа может быть представлен в виде 3k - 1, где k ∈ N.

Пусть n^2 = 3k - 1, где n - целое число.

Мы знаем, что каждое целое число n либо имеет вид 3m, либо 3m + 1, либо 3m + 2, где m ∈ Z (целые числа). Это можно показать, разделив n на 3 и рассмотрев возможные остатки.

Возможные случаи:

1. n = 3m: В этом случае n^2 = (3m)^2 = 9m^2 = 3(3m^2) = 3k, где k = 3m^2 ∈ N.

2. n = 3m + 1: В этом случае n^2 = (3m + 1)^2 = 9m^2 + 6m + 1 = 3(3m^2 + 2m) + 1 = 3k + 1, где k = 3m^2 + 2m ∈ N.

3. n = 3m + 2: В этом случае n^2 = (3m + 2)^2 = 9m^2 + 12m + 4 = 3(3m^2 + 4m + 1) + 1 = 3k + 1, где k = 3m^2 + 4m + 1 ∈ N.

Теперь мы рассмотрели все возможные случаи для n и в каждом случае получили, что n^2 имеет остаток 1 при делении на 3. Это значит, что квадрат целого числа не может иметь вид 3k - 1, где k ∈ N.

Таким образом, доказано, что квадрат целого числа не может быть представлен в виде 3k - 1, где k ∈ N.