Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x+4 y=0 x=0 x=2

Answer 1

$y=x+4\; \; ,\; \; x=0\; ,\; x=2\; ,\; \; y=0\\\\S=\int \limits _0^2\, (x+4)dx=\frac{(x+4)^2}{2}\Big |_0^2=\frac{1}{2}\cdot (36-16)=\frac{20}{2}=10$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите точки пересечения линий.
2. Найдите интеграл функции, определяющей верхнюю границу фигуры, вычитая функцию, определяющую нижнюю границу фигуры.
3. Найдите разность значений интеграла на пределах интегрирования.

Для данной задачи:

1. Найдем точки пересечения линий: y = x + 4 y = 0 x = 0 x = 2

Для первых двух уравнений, приравняем их: x + 4 = 0 x = -4

Точка пересечения линий (x, y) = (-4, 0)

Теперь для оставшихся двух уравнений: x = 0 x = 2

Точки пересечения линий (x, y) = (0, 0) и (2, 0).

2. Найдем функции, определяющие верхнюю и нижнюю границы фигуры:

В данном случае, верхней границей является линия y = x + 4, а нижней границей - ось x, y = 0.

3. Теперь найдем площадь фигуры, интегрируя разность между верхней и нижней границами по оси x от точки пересечения до правой границы фигуры (x = 2):

Площадь = ∫[от -4 до 2] (верхняя граница - нижняя граница) dx = ∫[от -4 до 2] (x + 4 - 0) dx = ∫[от -4 до 2] (x + 4) dx

Интегрируем:

Площадь = [x^2/2 + 4x] от -4 до 2 = [(2^2/2 + 42) - ((-4)^2/2 + 4(-4))] = [4 + 8 - (16/2 - 16)] = [12 - (-8)] = 20 квадратных единиц.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x + 4, y = 0, x = 0 и x = 2, равна 20 квадратным единицам.