Question

Назовем натуральное число особым, если оно представимо в виде m² + 2n², где m и n – целые числа. Докажите, что произведение двух особых чисел также особое число.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

(m^2+2n^2)*(a^2+2b^2)=(m^2a^2+4n^2b^2)+(2*b^2m^2+2n^2a^2)=(m^2a^2-4n^2m^2a^2b^2+4n^2b^2)+(2*b^2m^2+4n^2m^2a^2b^2+2n^2a^2)=(ma-2nb)^2+2(bm+an)^2=K^2+2L^2  ,

где

K=(ma-2nb)

L=(bm+an),

что и требуется.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами целых чисел и приведем детальное доказательство.

Пусть у нас есть два особых числа A и B, которые можно представить в виде:

A = m₁² + 2n₁², B = m₂² + 2n₂²,

где m₁, n₁, m₂, n₂ - целые числа.

Мы хотим показать, что произведение A*B также представимо в виде m³ + 2n³, где m и n - целые числа.

Рассмотрим произведение A*B:

A * B = (m₁² + 2n₁²) * (m₂² + 2n₂²).

Раскроем скобки:

A * B = m₁² * m₂² + 2n₁² * m₂² + m₁² * 2n₂² + 2n₁² * 2n₂².

Заметим, что каждое слагаемое в этой сумме является произведением двух квадратов. Так как произведение двух квадратов всегда является квадратом, то каждое слагаемое можно представить в виде m³ + 2n³, где m и n - целые числа.

Таким образом, мы получили, что A * B представимо в виде суммы четырех квадратов m³ + 2n³. Это и означает, что произведение двух особых чисел также является особым числом.

Таким образом, мы доказали, что произведение двух особых чисел всегда будет особым числом.