Question

1)Найти производную f(x)=2+18x^2-x^4 2)Построить график функции y=x^3-3x^2 3)Найти наименьшее и наибольшее значение функции f(x)=1/2x^3-4x [0;3]

Answer 1

1) х1 = -4,25564 х2 = 4,25564

2) х1 = 0 х2 = 3

3) х1 = -2,82843 х2 =0 х3 = 2,82843

Answer 2

1. Чтобы найти производную функции f(x) = 2 + 18x^2 - x^4, применим правило дифференцирования для каждого члена:

f'(x) = d/dx(2) + d/dx(18x^2) - d/dx(x^4)

Поскольку производная константы равна нулю, получим:

f'(x) = 0 + d/dx(18x^2) - d/dx(x^4)

Продифференцируем каждый член по отдельности:

f'(x) = 0 + 36x - 4x^3

Упростим выражение:

f'(x) = 36x - 4x^3

2. Чтобы построить график функции y = x^3 - 3x^2, можно использовать табличный метод. Выберем несколько значений для x и вычислим соответствующие значения y:

x	y
-2	-16
-1	4
0	0
1	-2
2	4
3	18

Построим график, используя эти точки:

yamlCopy code
     |
     |
 20  +                  x
     |
     |
 10  +
     |         
     |
  0  +________________________
     -2 -1  0  1  2  3  4  5  6

3) Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции f(x) = (1/2)x^3 - 4x на интервале [0, 3], нужно найти критические точки и проверить значения функции в этих точках и на границах интервала.

a) Найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует:

f'(x) = (3/2)x^2 - 4

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю и решим уравнение:

(3/2)x^2 - 4 = 0

(3/2)x^2 = 4

x^2 = 8/3

x = ±√(8/3)

Так как интервал [0, 3], мы будем рассматривать только положительное значение x. Подставим √(8/3) в функцию f(x) для нахождения соответствующего значения y.

f(√(8/3)) = (1/2)(√(8/3))^3 - 4√(8/3)

b) Проверим значения функции на границах интервала [0, 3]:

f(0) = (1/2)(0)^3 - 4(0)

f(3) = (1/2)(3)^3 - 4(3)

Теперь сравним значения функции f(x) во всех найденных точках (критических точках и на границах интервала), чтобы найти наименьшее и наибольшее значение:

f(0), f(√(8/3)), f(3)