Question

Ме­ди­а­ны AA1, BB1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Из­вест­но, что AC = 3MB.Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 20.​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

..........................

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством медиан треугольника, согласно которому медиана делит отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения медиан, на две равные части.

Пусть точка M делит медиану CC1 на отрезки CM и MC1 таким образом, что CM = MC1. Тогда, согласно условию, AC = 3MB, исходя из этого, можем записать:

AC = AM + MC 3MB = AM + MC

Из данных следует, что AM = 2MB. Таким образом, получаем:

AC = AM + MC 3MB = 2MB + MC MB = MC

Из полученного равенства следует, что точка M является серединой отрезка CC1. Таким образом, MC1 = CC1.

Сумма квадратов медиан AA1 и CC1 равна:

AA1^2 + CC1^2 = (2AM)^2 + (2MC1)^2 = 4(AM^2 + MC1^2) = 4(AM^2 + MC^2) = 4(2MB^2) = 8MB^2 = 8(AC^2/9) (согласно условию AM = 2MB и AC = 3MB) = 8(20^2/9) = 8(400/9) = 3200/9.

Таким образом, сумма квадратов медиан AA1 и CC1 равна 3200/9.