Question

Строители укладывали пол размером n * n плитками двух типов:2 * 2 и 3 * 1. Им удалось полностью уложить пол так, что было использовано одинаковое количество плиток каждого типа. При каких значениях n такое могло получиться. Рассмотрите все возможные значения n.(Резать плитки и накладывать друг на друга нельзя)

Answer 1

Плошаль квадратной плитки =4, длинной =3

Если уложили Х квадратных и Х длинных плиток, то площадь пола равна

4х+3х=7х. Тогда n*n=7х

То есть n должно равнятья семи, или быть кратным семи.

Например, 7*7, 14*14, 21*21 и так далее.

Пример заполнения пола 7*7 плиткой из 7 квадратных и 7 длинных на картинке

Answer 2

Давайте рассмотрим возможные значения n для которых строители могли полностью уложить пол плитками двух типов (2 * 2 и 3 * 1) так, чтобы использовалось одинаковое количество плиток каждого типа.

Для удобства обозначим количество плиток типа 2 * 2 как "a" и количество плиток типа 3 * 1 как "b".

Количество плиток типа 2 * 2, a, должно быть равно произведению количества плиток типа 3 * 1, b, на какое-то число, так как 2 * 2 = 4, а 3 * 1 = 3. Таким образом, a = 4 * b.

Также, общее количество плиток в поле размером n * n равно n^2.

Теперь нам нужно найти такие значения n, при которых можно представить n^2 в виде суммы a и b, где a = 4 * b.

1. Попробуем начать с маленьких значений n:

n = 1: n^2 = 1, но нельзя представить 1 в виде a + b, где a = 4 * b. n = 2: n^2 = 4, можно представить 4 в виде a + b, где a = 4 * b (4 = 4 * 1). n = 3: n^2 = 9, нельзя представить 9 в виде a + b, где a = 4 * b. n = 4: n^2 = 16, можно представить 16 в виде a + b, где a = 4 * b (16 = 4 * 4). n = 5: n^2 = 25, нельзя представить 25 в виде a + b, где a = 4 * b.

2. Общий случай:

Обратим внимание, что при каждом увеличении n на 2, n^2 увеличивается на 4 (разница между квадратами последовательных нечетных и четных чисел равна 4). Таким образом, мы можем представить n^2 в виде a + b с условием a = 4 * b только для четных значений n^2.

Итак, все возможные значения n, при которых такое возможно, будут четными числами.

Ответ: n может быть любым четным числом.