Question

При яких значеннях a рівняння (a-1)x=a^3-1 має тільки один додатній корінь?

Answer 1

(a-1)x = a³ - 1

(a-1)x = (a-1)(a²+a+1)

Если a - 1 = 0 откуда a = 1 то уравнение имеет бесконечно много корней. Теперь пусть a ≠ -1, то данное уравнение можно переписать так

x = a² + a + 1

Уравнение имеет положительный корень, если a² + a + 1 > 0

А это неравенство верно для всех действительных a.

Ответ: при a ∈ (-∞;1)∪(1;+∞).

Answer 2

Для того щоб рівняння (a-1)x=a^3-1 мало тільки один додатній корінь, мають виконуватися дві умови:

1. Рівняння повинно мати корінь x > 0.
2. Рівняння повинно не мати жодного додатного кореня, окрім x > 0.

Для знаходження значень параметра a, при яких ці умови виконуються, розглянемо кожну умову окремо:

1. Рівняння має корінь x > 0: Рівняння має корінь, коли ліва частина рівняння (a-1)x > 0 та права частина рівняння a^3-1 > 0. З рівняння a^3-1 > 0 отримуємо a^3 > 1, що означає, що a > 1.

2. Рівняння не має жодного додатного кореня, окрім x > 0: Для цього, ліва частина рівняння (a-1)x < 0, тобто або (a-1) < 0 або x < 0. А так як ми шукаємо тільки один додатній корінь, то a-1 < 0 (тобто a < 1).

Таким чином, для того щоб рівняння (a-1)x=a^3-1 мало тільки один додатній корінь, a повинно задовольняти дві умови: a > 1 та a < 1. Протиріччя!

Отже, немає жодного значення параметра a, при якому рівняння (a-1)x=a^3-1 матиме тільки один додатній корінь.