Question

Помогите решить задачу Коши y(1-ln y)y''+(1+ln y)(y')^2=0 y(0) = 1, y'(0) =1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения задачи Коши с данной дифференциальной уравнением, нужно найти функцию y(x), которая удовлетворяет уравнению и начальным условиям y(0) = 1 и y'(0) = 1.

Давайте решим данное дифференциальное уравнение пошагово:

Шаг 1: Найдем производные y'(x) и y''(x): Пусть u = y' (производная y по x), тогда y'' = du/dx.

Шаг 2: Подставим выражения для y' и y'' в данное уравнение: (1 - ln y) * y'' + (1 + ln y) * y'^2 = 0

Теперь заменим y'' и y': (1 - ln y) * du/dx + (1 + ln y) * u^2 = 0

Шаг 3: Разделим уравнение на (1 - ln y): du/dx + u^2 = 0

Шаг 4: Решим полученное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка.

Метод разделения переменных: Разделим уравнение на u^2 и переместим dx на одну сторону, а u^2 на другую: du/u^2 = -dx

Шаг 5: Проинтегрируем обе стороны: ∫ du/u^2 = ∫ -dx

-1/u = -x + C

где C - константа интегрирования.

Шаг 6: Найдем значение константы C, используя начальное условие y'(0) = 1: Когда x = 0, y'(0) = u(0) = 1. Таким образом, подставим x=0 и u(0) = 1 в уравнение:

-1/u(0) = 0 + C C = -1

Шаг 7: Подставим значение C в уравнение: -1/u = -x - 1

Шаг 8: Найдем функцию y(x) из выражения u = y': y' = -1/(x+1)

Шаг 9: Проинтегрируем обе стороны: ∫dy = ∫-1/(x+1) dx

y = -ln |x+1| + D

где D - константа интегрирования.

Шаг 10: Найдем значение константы D, используя начальное условие y(0) = 1: Подставим x=0 и y(0) = 1 в уравнение:

1 = -ln|0+1| + D 1 = -ln(1) + D 1 = 0 + D D = 1

Шаг 11: Подставим значение D в уравнение: y(x) = -ln |x+1| + 1

Таким образом, решением задачи Коши является функция: y(x) = -ln |x+1| + 1