Question

У дракона есть 40 кучек золотых монет, в любых двух из них количество монет отличается. После того как дракон разграбил соседний город и принес еще золото, количество монет в каждой кучке увеличилось либо в 2 , либо в 3 , либо в 4 раза. Какое наименьшее количество различных кучек монет могло получится?

Answer 1

Есть 40 кучек с различным количеством монет. После добавления монет количество их в каждой кучке может увеличиться в 2, 3 или 4 раза.

Значит, после добавления монет  в трёх кучках может стать равное количество :  при умножении монет в одной из кучек на 4, в другой на 3, а в третьей на 2.  Тогда всего различных кучек будет

39 : 3 + 1 = 14

Например, до разграбления и после  у дракона были кучки:

2                    →   2·4=8

3; 4; 6            →   3·4=12;        4·3=12;         6·2=12

9; 12; 18         →   9·4=36;       12·3=36;      18·2=36

15; 20; 30      →   15·4=60;     20·3=60;     30·2=60

21; 28; 42      →   21·4=84;     28·3=84;      42·2=84

27; 36; 54      →  27·4=108;   36·3=108;     54·2=108

33; 44; 66      →   33·4=132;   44·3=132;    66·2=132

39; 52; 78      →   39·4=156;   52·3=156;    78·2=156

45; 60; 90      →   45·4=180;   60·3=180;    90·2=180

51; 68; 102      →   51·4=204;   68·3=204;    102·2=204

57; 76; 114      →    57·4=228;   76·3=228;    114·2=228

63; 84; 126      →   63·4=252;   84·3=252;    126·2=252

69; 92; 138      →   69·4=276;   92·3=276;    138·2=276

75; 100; 150      →   75·4=300;   100·3=300;    150·2=300

Ответ :  14

Answer 2

Пусть исходно в каждой из 40 кучек было x монет.

Мы знаем, что в любых двух кучках количество монет отличается. Это означает, что у нас может быть не более 2 кучек с одинаковым количеством монет.

Допустим, после разграбления соседнего города дракон принес еще золото и количество монет в каждой кучке увеличилось в 2, 3 или 4 раза. Это дает нам три варианта для увеличения количества монет: x * 2, x * 3 и x * 4.

Теперь давайте посмотрим на возможные значения x, которые удовлетворяют условиям задачи:

1. Если количество монет увеличилось в 2 раза: Возможны значения x и 2x (две кучки).
2. Если количество монет увеличилось в 3 раза: Возможны значения x и 3x (две кучки).
3. Если количество монет увеличилось в 4 раза: Возможны значения x и 4x (две кучки).

Таким образом, у нас могут быть две кучки, но для минимального количества различных кучек монет нам нужно объединить эти три варианта и найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 2, 3 и 4.

НОК(2, 3, 4) = 12.

Это значит, что наименьшее количество различных кучек монет, которое может получиться, равно 12.