Question

У дракона есть более 500 золотых монет. Когда он попытался сложить из них 10 кучек по 100 монет, то монет не хватило. Дракон решил сложить монеты в столбики по 4 монеты в каждом, но один из столбиков остался не полным. Тогда Дракон стал укладывать монеты в столбики по 15 монет в каждом, но один из столбиков все равно остался не полным, причем в нем оказалось столько же монет, как и в неполном столбике при укладывании по 4. Сколько монет у Дракона, если в числе монет средняя цифра является средним арифметическим крайних цифр?

Answer 1

10 кучек по 100 монет - это 1000. Значит, монет m ∈ (500; 1000).
Причем при делении на 4 и при делении на 15 получились одинаковые остатки. Значит, и при делении на 4*15=60 будет такой же остаток.
Числа от 500 до 1000, кратные 60: 540, 600, 660, 720, 780, 840, 900, 960.
Выпишем все числа, подходящие по условиям, с остатками от 1 до 3:
541, 542, 543, 601, 602, 603, 661, 662, 663, 721, 722, 723, 781, 782, 783,
841, 842, 843, 901, 902, 903, 961, 962, 963
Средняя цифра является средним арифметическим крайних цифр только в двух случаях: 543 и 963.

Answer 2

Пусть количество монет, которыми располагает дракон, равно Х.

Из условия известно, что монет не хватило, чтобы сложить 10 кучек по 100 монет каждая. Это означает, что количество монет должно быть меньше, чем 10 * 100 = 1000. Следовательно, 500 < X < 1000.

Также известно, что при укладывании монет в столбики по 4 монеты в каждом остался один неполный столбик. То есть X не делится на 4 без остатка.

Когда монеты укладывались в столбики по 15 монет в каждом, остался один неполный столбик с таким же количеством монет, как и в неполном столбике при укладывании по 4. Это означает, что количество монет находится в виде 15 * N + R, где N - целое число столбиков по 15 монет, а R - количество монет в неполном столбике.

У нас есть два условия:

1. X < 1000
2. X = 15 * N + R

Посмотрим на остатки от деления на 15:

1 монета: 1 % 15 = 1 2 монеты: 2 % 15 = 2 ... 14 монет: 14 % 15 = 14 15 монет: 15 % 15 = 0 16 монет: 16 % 15 = 1 ...

Очевидно, что все остатки от деления на 15 от 1 до 14 имеются в списке. Это означает, что неполный столбик с количеством монет, равным остатку от деления на 15, возможен только в случае, когда вместо 4 монет у нас было 16.

Таким образом, R = 16, а X = 15 * N + 16.

Теперь нужно найти такое значение N, чтобы средняя цифра числа X была равна среднему арифметическому крайних цифр.

Среднее арифметическое крайних цифр равно (1 + 6) / 2 = 3.5.

Подставим X в формулу: X = 15 * N + 16.

Так как X должно быть между 500 и 1000, можно начать проверять значения N:

При N = 34: X = 15 * 34 + 16 = 526. Среднее арифметическое крайних цифр числа 526 равно (5 + 6) / 2 = 5.5 - не