Question

У дракона есть 40 кучек золотых монет, в любых двух из них кол-во монет отличается. После того как дракон разграбил соседний город и принес еще золото, кол-во монет в каждой кучке увеличилось либо в 2, либо в 3, либо в 4 раза. Какое наименьшее кол-во различных кучек монет могло получится?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Я уже отвечал.

Кучек как было, так и осталось 40.

Но в каждой количество монет увеличилось в 2, в 3 или в 4 раза.

Об этом сказано в условии.

Дурацкая какая-то задача.

Answer 2

Рассмотрим возможные варианты увеличения количества монет в кучках. Пусть исходно в кучке было $x$ монет.

• Если количество монет увеличилось в 2 раза, то в кучке стало $2x$ монет.
• Если количество монет увеличилось в 3 раза, то в кучке стало $3x$ монет.
• Если количество монет увеличилось в 4 раза, то в кучке стало $4x$ монет.

Заметим, что после увеличения количества монет в кучках, все кучки могут иметь только одно из трех значений: $2x$, $3x$, $4x$.

Поскольку в исходной ситуации любые две кучки имеют разное количество монет, то это означает, что исходные кучки содержат различное количество монет из следующего набора: $1x$, $2x$, $3x$, $\ldots$, $39x$, $40x$.

Если в новой ситуации были бы две кучки с одинаковым количеством монет, то они должны были быть одинаковыми и в исходной ситуации, что противоречит условию задачи.

Поэтому каждая кучка после разграбления города должна иметь одно из трех значений: $2x$, $3x$, $4x$. Таким образом, всего может получиться не более, чем $3^{40}$ различных ситуаций.

Осталось убедиться, что существует такой набор из $40$ кучек монет, что после увеличения количества монет в каждой из них на $2$, $3$ или $4$ раза, получится $3^{40}$ различных кучек монет.

Рассмотрим набор кучек монет с количеством монет $1$, $2$, $4$, $\ldots$, $2^{38}$ и $2^{39}$. Этот набор удовлетворяет условию задачи, поскольку любые две кучки имеют разное количество монет, и каждая кучка после увеличения количества монет на $2$, $3$ или $4$ раза будет иметь одно из трех значений: $2x$, $3x$, $4x$.

Таким образом, наименьшее количество различных кучек монет, которое могло получиться, равно $3^{40}$.