Question

Решите 10 уравнение, пожалуйста общим решением дифференциального уравнения 2xy' = y

Answer 1

Ответ: y=√(C*x), где C≠0.

Пошаговое объяснение:

Разделив уравнение на произведение 2*x*y, получаем уравнение с разделёнными переменными: y'/y=1/(2*x). Так как y'=dy/dx, то, умножая обе части на dx, приходим к уравнению dy/y=dx/(2*x). Интегрируя обе части, получаем ln/y/=1/2*ln/x/+1/2*ln/C/, где C - произвольная постоянная, не равная нулю. Отсюда ln/y/=ln[√(C*x)] и y=√(C*x).

Проверка: y'=√C/(2*√x), 2*x*y'=√C*√x=√(C*x)=y - значит, решение найдено верно.

Answer 2

Дифференциальное уравнение, данное вами, является уравнением с разделяющимися переменными. Давайте решим его:

2xy' = y

Разделим обе части уравнения на y:

2x * dy/dx = 1/y

Перепишем уравнение в виде:

2x * dy = dx/y

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫2x * dy = ∫dx/y

∫2x * dy = ∫(1/y) * dx

Интегрируя, получаем:

2∫x * dy = ∫dx * ln|y|

x^2 + C1 = ln|y| + C2

Где C1 и C2 - произвольные постоянные интегрирования.

Теперь решим уравнение относительно y:

ln|y| = x^2 + C1 - C2

ln|y| = x^2 + C

Где C = C1 - C2.

Теперь избавимся от логарифма, возведя обе части уравнения в экспоненту:

|y| = e^(x^2+C)

|y| = e^(x^2) * e^C

Так как e^C является положительной константой, давайте обозначим ее за K:

|y| = K * e^(x^2)

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если K > 0, то |y| = K * e^(x^2), где K > 0.

2. Если K < 0, то |y| = -K * e^(x^2), где K < 0.

Оба случая объединяются общим решением:

y = ±K * e^(x^2), где K ≠ 0.

Таким образом, общим решением дифференциального уравнения 2xy' = y является y = ±K * e^(x^2), где K ≠ 0.