Question

Ребят спасайте! завтра олимпиада а там есть задание: 1.)Сколько существует пар натуральных чисел аи b таких, что НОК(a, b) = НОД(a, b) + 17. Напоминаем, что НОД(a, b) — это наибольший общий делитель, то есть наибольшее натуральное число, на которое делятся иаи b. HOKа, b) — это наименьшее общее кратное, то есть наименьшее натуральное число, которое делится и на а, и на b. 2.) Вдоль автотрассы М7 расположены 40 кафе. Хозяин каждого из них посчитал сумму расстояний до оставшихся заведений. Возможно ли такое , что у всех получились различные числа?​

Answer 1

Ответ:

2) Если строго математически, то между сорока точками прямой есть 39 отрезков и общая сумма их всегда одинакова. Но слово ВОЗМОЖНО заставляет нас искать варианты и они есть :

1. Все хозяева плохо считают и каждый сделал ошибку

2. Трасса М7 не является прямой, а каждый считал расстояние не по трассе, а по кратчайшему расстоянию.

3. У них нет определенных точек отсчета

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое задание по отдельности:

1.) Найдем количество пар натуральных чисел (a и b), для которых НОК(a, b) = НОД(a, b) + 17.

Для начала, заметим, что если a и b имеют НОД равный d, то можно представить их следующим образом:

a = dx b = dy

где x и y - взаимно простые числа, то есть их НОД равен 1.

Теперь, НОК(a, b) = dxy (поскольку для НОК используется произведение чисел, поделенное на их НОД).

НОД(a, b) + 17 = d + 17.

Условие НОК(a, b) = НОД(a, b) + 17 теперь примет вид: dxy = d + 17.

Выразим d из этого уравнения: d = 17 / (xy - 1).

Так как d должно быть натуральным числом, то xy - 1 должно быть делителем числа 17. Разложим 17 на простые множители: 17 = 1 * 17. Таким образом, xy - 1 может принимать два значения: 1 и 17.

1. Если xy - 1 = 1, то xy = 2. Таким образом, x и y могут быть 1 и 2 (так как x и y взаимно простые).

a = dx = 1 * 1 = 1 b = dy = 2 * 1 = 2

2. Если xy - 1 = 17, то xy = 18. Возможные значения для x и y: 1 и 18, 2 и 9, 3 и 6 (так как x и y взаимно простые).

a = dx = 1 * 1 = 1 b = dy = 1 * 18 = 18

a = dx = 2 * 1 = 2 b = dy = 2 * 9 = 18

a = dx = 3 * 1 = 3 b = dy = 3 * 6 = 18

Таким образом, есть три пары чисел (a и b), удовлетворяющих условию задачи: (1, 2), (1, 18) и (2, 18).

2.) Вдоль автотрассы М7 расположены 40 кафе. Хозяин каждого из них посчитал сумму расстояний до оставшихся заведений. Возможно ли такое, что у всех получились различные числа?

Да, такое возможно. Если каждое кафе находится на разном расстоянии от остальных заведений, то суммы расстояний до остальных кафе будут различными для каждого из 40 кафе. Такое может произойти, если, например, кафе равномерно распределены вдоль автотрассы и каждое имеет свою уникальную удаленность от остальных заведений.