Question

Найдите наименьшее натуральное число имеющее ровно 12 различных натуральных делителей, наибольший простой делитель которого число 101, а последняя цифра нуль ​

Answer 1

Ответ: 20200

Пошаговое объяснение:

N - искомое число. Если последняя цифра 0, то оно делится на 10. 10=2*5

Каноническое разложение числа N на простые множители: N=101*2ᵃ¹*5ᵃ²*m

Раскладываем количество натуральных делителей на 2 множителя: 3*4=4*3=3*2²=12

Число натуральных делителей числа можно представить формулой

r(N)=(a₁+1)*(a2+1)*...*(aₓ+1)

(a₁+1)(a₂+1)=3*4=4*3

a₁+1=3 => a₁=2

a₂+1=4 => a₂=3

N=101*2²*5³=50500

a₁+1=4 => a₁=3

a₂+1=3 => a₂=2

N=101*2³*5²=20200

20200 < 50500

Поскольку существует только 2 числа, отвечающих условию, то наименьшее число - это 20200

Answer 2

Чтобы найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее указанным условиям, нужно знать, что количество делителей числа связано с его разложением на простые множители.

Известно, что наибольший простой делитель числа равен 101, а последняя цифра числа 0. Значит, число может быть представлено в виде произведения вида:

Число = 101^a * b * 10,

где 'a' - степень простого делителя (101), 'b' - произведение оставшихся простых множителей и 10 обеспечивает наличие последней цифры 0.

Теперь, чтобы у числа было ровно 12 различных натуральных делителей, 'a' должно быть равно 1 (потому что у простого числа 101 два делителя: 1 и само число). Это оставляет нас с числом вида:

Число = 101^1 * b * 10.

Чтобы число имело ровно 12 делителей, у него должно быть (1+1)(1+1)(1+1) = 2 * 2 * 2 = 8 делителей степени простых множителей. Так как 'a' равно 1, то у 'b' должно быть 8 делителей.

Наименьшее натуральное число с 8 делителями - это число 2^3 * 3 = 24.

Таким образом, наименьшее натуральное число, у которого ровно 12 различных натуральных делителей, наибольший простой делитель которого - 101, а последняя цифра - 0, равно:

Число = 101^1 * 24 * 10 = 101 * 24 * 10 = 24240.