Question

Довести, що 19^2010-1 ділиться на 5​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Найдем остаток от деления $19^{2010}$ на 5.

Воспользуемся тем, что $(ka+b)^n$ имеет такой же остаток от деления на k, что и $b^n$.

$19^{2010}=(5*3+4)^{2010}$ имеет такой же остаток от деления на 5, что и $4^{2010}$.

$4^{2010}=(5-1)^{2010}$, поэтому имеет такой же остаток от деления на 5, что и $(-1)^{2010}$.

$(-1)^{2010}=1$ - остаток равен 1.

Тогда остаток от деления выражения $19^{2010}-1$ на 5 равен 0, что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте розглянемо числа виразу (19^2010 - 1) окремо:

19^2010: За допомогою теореми Малиса, ми можемо помітити, що 19^4 ділиться на 5 без залишку. Тобто (19^4)^502 = (19^2010) ділиться на 5.

Тепер давайте розглянемо -1: -1 = -5 + 4, і ми можемо помітити, що -5 ділиться на 5, а 4 не ділиться на 5.

Таким чином, ми можемо записати: 19^2010 - 1 = (19^2010) - (-5 + 4) = (19^2010) + 5 - 4

За вищезгаданою властивістю 19^2010 ділиться на 5, тому перший доданок, (19^2010), також ділиться на 5.

Тепер давайте розглянемо другий доданок, 5. Очевидно, що 5 ділиться на 5 без залишку.

Третій доданок, -4, не впливає на ділення числа на 5.

Таким чином, (19^2010) - 1 ділиться на 5, оскільки кожен з трьох доданків ділиться на 5.

Отже, ми довели, що (19^2010 - 1) ділиться на 5.