Question

петя и вася работая совместно покрасили забор за 4 часа. если бы сначала петя покрасил половину забора а затем вася оставшуюся половину то весь забор был бы покрашен за 9 часов. за какое время может покрасить забор петя работая в одиночку если известно что его производительность труда выше чем у васи

Answer 1

Пусть Петя покрасит забор за x часов.

$\frac14$ - совместная производительность.

$\frac1x$ - производительность Пети.

$\frac14-\frac1x$ - производительность Васи.

$\frac12:\frac1x=\frac x2$ часов уйдёт у Пети на покраску половины забора.

$\frac12:\left(\frac14-\frac1x\right)$ часов уйдёт у Васи на покраску половины забора.

Если каждый будет красить по половине забора, весь забор покрасят за 9 часов, то есть

$\frac x2+\frac12:\left(\frac14-\frac1x\right)=9\\\\\frac x2+\frac12:\frac{x-4}{4x}=9\\\\\frac x2+\frac12\cdot\frac{4x}{x-4}=9\\\\\frac x2+\frac{2x}{x-4}=9\\\\\frac{x(x-4)+4x}{2x-8}=9\\\\x^2-4x+4x=18x-72\\x^2-18x+72=0\\D=324-4\cdot1\cdot72=324-288=36\\x_{1,2}=\frac{18\pm6}2\\x_1=6,\;x_2=12$

Если Петя покрасит забор за 6 часов, то Вася сделает это за $1:\left(\frac14-\frac1{6}\right)=12$ часов.

Если Петя покрасит забор за 12 часов, то Вася сделает это за $1:\left(\frac14-\frac1{12}\right)=6$ часов. Этот вариант не подходит, т.к. в условии сказано, что производительность труда Пети выше, чем у Васи.

Ответ: 6 часов.

Answer 2

Пусть производительность работы Пети обозначается как P, а производительность работы Васи - как V (оба значения выражены в долях забора, покрашенных в единицу времени).

Из условия задачи, когда Петя покрасил половину забора, затем Вася покрасил оставшуюся половину, весь забор был покрашен за 9 часов. Таким образом, суммарная производительность работы Пети и Васи равна 1/9.

По условию задачи, когда Петя и Вася работают вместе, они покрашивают забор за 4 часа. То есть их совместная производительность равна 1/4.

Используя эти данные, мы можем составить систему уравнений:

P + V = 1/4 (1) P/2 + V/2 = 1/9 (2)

Умножим уравнение (2) на 2, чтобы избавиться от дробей:

P + V = 1/4 (1) P + V = 2/9 (3)

Вычтем уравнение (1) из уравнения (3):

P + V - (P + V) = 2/9 - 1/4 0 = 8/36 - 9/36 0 = -1/36

Получили противоречие. Это означает, что задача имеет некорректное условие или в нем допущена ошибка. Поэтому нельзя точно определить, за какое время Петя сможет покрасить забор в одиночку.