Question

Найти углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями 18x+6y-17=0, 14x-7y+15=0 и 5x+10y-9=0

Answer 1

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0, вычисляется по формуле:

cos φ = (A1A2 + B1B2)/√(A1² + B1²)*√(A2² + B2²).

Подставим коэффициенты.

18x+6y-17=0 и 14x-7y+15=0

cos α = (18*14 + 6*(-7))/√(18² + 6²)*√(14² + (-7)²) = 210/√(360*245 ) = 1/√2.

Угол равен 45 градусов.

14x-7y+15=0 и 5x+10y-9=0. Тут угловые коэффициенты -1/2 и 2 говорят о том, что угол β равен 90 градусов.

18x+6y-17=0 и 5x+10y-9=0. Для этого угла остаётся 90-45 = 45 градусов.

Answer 2

Для нахождения углов треугольника по заданным уравнениям сторон необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите точки пересечения сторон треугольника, решив систему уравнений. Обозначим эти точки как A, B и C.

Уравнения сторон: 18x + 6y - 17 = 0 ...(1) 14x - 7y + 15 = 0 ...(2) 5x + 10y - 9 = 0 ...(3)

Решим систему уравнений (1), (2) и (3) методом подстановки.

Из уравнения (1) найдем x: 18x + 6y - 17 = 0 18x = 17 - 6y x = (17 - 6y) / 18

Подставим значение x в уравнение (2): 14x - 7y + 15 = 0 14((17 - 6y) / 18) - 7y + 15 = 0 (238 - 84y) / 18 - 7y + 15 = 0 238 - 84y - 126y + 270 = 0 -210y + 508 = 0 y = 508 / 210 y = 2.42

Теперь найдем x, используя найденное значение y: x = (17 - 6y) / 18 x = (17 - 6 * 2.42) / 18 x = 17 / 18 - 14.52 / 18 x = 0.94 - 0.81 x = 0.13

Таким образом, точка A имеет координаты (0.13, 2.42).

Аналогично, найдем точку B и C.

Для уравнений (2) и (3):

Уравнение (2): 14x - 7y + 15 = 0 14x = 7y - 15 x = (7y - 15) / 14

Подставим значение x в уравнение (3): 5x + 10y - 9 = 0 5((7y - 15) / 14) + 10y - 9 = 0 (35y - 75) / 14 + 10y - 9 = 0 (35y - 75) + 140y - 126 = 0 175y - 375 + 140y - 126 = 0 315y = 501 y = 501 / 315 y = 1.59

Теперь найдем x, используя найденное значение y: x = (7y - 15) / 14 x = (7 * 1.59 - 15) / 14 x = 11.13 / 14 - 15 / 14 x = 0.79 - 1.07 x = -0.28

Таким образом, точка B имеет координаты (-0.28, 1.59).

Теперь найдем точку C.

Для уравнений (1) и (3):

Уравнение (1): 18x + 6y - 17 = 0 18x = 17 - 6y x = (17 - 6y) / 18

Подставим значение x в уравнение (3): 5x + 10y - 9 = 0 5((17 - 6y) / 18) + 10y - 9 = 0 (85 - 30y) / 18 + 10y - 9 = 0 85 - 30y + 180y - 162 = 0 150y = 77 y = 77 / 150 y = 0.51

Теперь найдем x, используя найденное значение y: x = (17 - 6y) / 18 x = (17 - 6 * 0.51) / 18 x = 17 / 18 - 3.06 / 18 x = 0.94 - 0.17 x = 0.77

Таким образом, точка C имеет координаты (0.77, 0.51).

2. Вычислите длины сторон треугольника AB, BC и AC, используя формулу расстояния между двумя точками:

Длина стороны AB: AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] AB = √[(-0.28 - 0.13)² + (1.59 - 2.42)²] AB = √[(-0.41)² + (-0.83)²] AB = √[0.1681 + 0.6889] AB = √0.857 AB ≈ 0.93

Длина стороны BC: BC = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] BC = √[(0.77 - (-0.28))² + (0.51 - 1.59)²] BC = √[(1.05)² + (-1.08)²] BC = √[1.1025 + 1.1664] BC = √2.2689 BC ≈ 1.51

Длина стороны AC: AC = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] AC = √[(0.77 - 0.13)² + (0.51 - 2.42)²] AC = √[(0.64)² + (-1.91)²] AC = √[0.4096 + 3.6481] AC = √4.0577 AC ≈ 2.01

3. Используйте закон косинусов, чтобы найти углы треугольника:

Угол A: cos(A) = (BC² + AC² - AB²) / (2 * BC * AC) cos(A) = (1.51² + 2.01² - 0.93²) / (2 * 1.51 * 2.01) cos(A) = (2.2801 + 4.0401 - 0.8649) / (6.0594) cos(A) = 5.4553 / 6