Question

Доказать тождество: 2cos(45+α)cos(45-α)=cos2α

Answer 1

Доказать: 2cos(45°+α)cos(45°-α)=cos2α.

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим левую часть выражения.

По формулам косинуса суммы и разности можно раскрыть cos(45°+α) и cos(45°-α):

cos(45°+α) = cos(45°)cos(α)-sin(45°)sin(α) = √2/2 * (cos(α)-sin(α))

cos(45°-α) = cos(45°)cos(α)+sin(45°)sin(α) = √2/2 * (cos(α)+sin(α))

Тогда получим, что:

2cos(45°+α)cos(45°-α) = 2 * √2/2 * (cos(α)-sin(α)) * √2/2 * (cos(α)+sin(α)) = cos²(α)-sin²(α) = cos(2α), что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы будем использовать тригонометрические идентичности.

Тождество, которое мы хотим доказать, выглядит так:

2cos(45 + α)cos(45 - α) = cos(2α)

Для начала, давайте воспользуемся формулой сложения косинусов:

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

Теперь заменим A на 45 и B на α:

cos(45 + α) = cos(45)cos(α) - sin(45)sin(α)

Поскольку cos(45) и sin(45) равны 1/√2, мы можем переписать это как:

cos(45 + α) = (1/√2)cos(α) - (1/√2)sin(α)

Аналогично, используя формулу вычитания косинусов:

cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)

Заменим A на 45 и B на α:

cos(45 - α) = cos(45)cos(α) + sin(45)sin(α)

Так как cos(45) и sin(45) равны 1/√2:

cos(45 - α) = (1/√2)cos(α) + (1/√2)sin(α)

Теперь умножим оба выражения, полученные выше:

cos(45 + α)cos(45 - α) = [(1/√2)cos(α) - (1/√2)sin(α)][(1/√2)cos(α) + (1/√2)sin(α)]

Теперь раскроем скобки:

cos(45 + α)cos(45 - α) = (1/2)cos^2(α) - (1/2)sin^2(α)

Теперь используем тригонометрическое тождество cos^2(α) - sin^2(α) = cos(2α):

cos(45 + α)cos(45 - α) = (1/2)(cos^2(α) - sin^2(α)) = (1/2)cos(2α)

Таким образом, мы доказали, что:

2cos(45 + α)cos(45 - α) = cos(2α)

Что и требовалось доказать.