Question

Как записывается уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости? как записываются уравнения прямой, проходящей через две точки в пространстве?

Answer 1

Уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости (каноническое):

$A(x_1,y_1)\; ,\; \; B(x_2,y_2)\\\\\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

От канонического уравнения с помощью алгебраических преобразований можно перейти к параметрическим уравнениям, а также к уравнениям через угловой коэффициент   $y-y_0=k(x-x_0)$   и к уравнению по нормальному вектору и точке   $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$  .

Уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве (каноническое):

$A(x_1,y_1,z_1)\; ,\; \; B(x_2,y_2,z_2)\\\\\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z_2-z_1}{z_2-z_1}$

Также с помощью алгебраических преобразований можно получить параметрические уравнения и общие уравнения прямой в пространстве   $\left \{ {{A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0} \atop {A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0}} \right.$  .

Answer 2

Уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости, можно записать в общем виде используя уравнение прямой в укороченной форме, или в виде наклонного уравнения прямой.

1. Уравнение прямой в укороченной форме: Пусть у нас есть две точки на плоскости: (x₁, y₁) и (x₂, y₂). Уравнение прямой в укороченной форме записывается следующим образом: (y - y₁) = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) * (x - x₁)

2. Наклонное уравнение прямой: Пусть у нас есть две точки на плоскости: (x₁, y₁) и (x₂, y₂). Уравнение прямой в наклонном форме записывается следующим образом: y - y₁ = m(x - x₁), где m - наклон (угловой коэффициент) прямой, который вычисляется как m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).

Уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве, записывается аналогично, только в трехмерном пространстве добавляется ещё одна координата z. Таким образом, уравнение прямой в пространстве будет содержать три координаты (x, y, z) для каждой точки, и его форма будет аналогичной форме для плоскости:

1. Уравнение прямой в укороченной форме в пространстве: (z - z₁) = ((z₂ - z₁) / (x₂ - x₁)) * (x - x₁) + ((z₂ - z₁) / (y₂ - y₁)) * (y - y₁)

2. Наклонное уравнение прямой в пространстве: z - z₁ = m₁(x - x₁) + m₂(y - y₁), где m₁ и m₂ - наклоны (угловые коэффициенты) прямой вдоль осей x и y соответственно, которые вычисляются как m₁ = (z₂ - z₁) / (x₂ - x₁) и m₂ = (z₂ - z₁) / (y₂ - y₁).