Question

Решите уравнение (x-4)⁴-4(x-4)²-21=0

Answer 1

(x-4)⁴-4(x-4)²-21=0

Заменяем (x-4)²=t

t²-4t-21=0

D=k²-ac

D=4+21=25

t₁₂=-k±√D/a

t₁₂=-2±5/2

t₁=1,5

t₂=3,5

Возвращаемся к замене:

(x-4)²=1,5             (x-4)²=3,5

x=4-√7                 x=4+√7

Answer 2

Давайте решим уравнение:

$(x-4)^4 - 4(x-4)^2 - 21 = 0$

Для удобства, заменим переменную $y = (x-4)^2$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 - 4y - 21 = 0$

Теперь решим это уравнение для $y$:

Используем квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$:

$a = 1, \quad b = -4, \quad c = -21$

Формула дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac$

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$

Теперь найдем два значения $y$ при помощи квадратного корня:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$y_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

$y_1 = \frac{4 + 10}{2} = 7$

$y_2 = \frac{4 - 10}{2} = -3$

Так как $y = (x-4)^2$, то $(x-4)^2 = 7$ или $(x-4)^2 = -3$.

1. Если $(x-4)^2 = 7$, возьмем квадратный корень:

$x-4 = \sqrt{7}$ или $x-4 = -\sqrt{7}$

Тогда:

$x_1 = 4 + \sqrt{7}$

$x_2 = 4 - \sqrt{7}$

2. Если $(x-4)^2 = -3$, то уравнение не имеет решений в вещественных числах, так как нельзя извлечь корень из отрицательного числа.

Итак, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 4 + \sqrt{7}$

$x_2 = 4 - \sqrt{7}$