Question

(a - 3) * x^2 + (6 - 2a)x + 1 = 0

Answer 1

Ответ:

Рассмотрим параметрическое уравнение

(a-3)·x²+(6-2·a)x+1=0 ⇔ (a-3)·x²-(a-3)·2·x+1=0

Пусть a-3=0 или a=3. Тогда 0·x²-0·2·x+1=0 и отсюда 1=0, что невозможно, то есть x∈∅.

Пусть a-3≠0. вычислим дискриминант квадратного уравнения

(a-3)·x²-(a-3)·2·x+1=0:

D=(-2·(a-3))²-4·(a-3)·1=4·(a-3)²-4·(a-3)=4·(a-3)·(a-3-1)=4·(a-3)·(a-4).

Исследуем дискриминант:

1) D=0 ⇔ 4·(a-3)·(a-4)=0 ⇒ a-4=0, так как a-3≠0. Тогда квадратное уравнение имеет единственное решение:

$x=\frac{-(-2(a-3))}{2(a-3)}= 1$

2) D<0 ⇔ 4·(a-3)·(a-4)<0 ⇒(a-3)·(a-4)<0

Знак (a-3)·(a-4)            +                       -                               +

                 -∞ -----------[0]----------(3)--[3,5]----[4]-------------[100]----------------> +∞

Значит, для a∈(3; 4) дискриминант D<0 и поэтому уравнение не имеет решений x∈∅.

3) По рассмотренной схеме в 2) при a∈(-∞; 3)∪(4; +∞) D>0 и поэтому квадратное уравнение имеет два корня:

$x_{1}=\frac{-(-2(a-3))-\sqrt{4(a-3)(a-4)}}{2(a-3)}=1-\frac{\sqrt{(a-3)(a-4)} }{a-3} \\x_{2}=\frac{-(-2(a-3))+\sqrt{4(a-3)(a-4)}}{2(a-3)}=1+\frac{\sqrt{(a-3)(a-4)} }{a-3}$

Answer 2

To solve the quadratic equation (a - 3) * x^2 + (6 - 2a)x + 1 = 0, we can use the quadratic formula. The quadratic formula states that for an equation of the form ax^2 + bx + c = 0, the solutions for x are given by:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Comparing this with our equation (a - 3) * x^2 + (6 - 2a)x + 1 = 0, we can see that a = (a - 3), b = (6 - 2a), and c = 1.

Substituting these values into the quadratic formula, we get:

x = (-(6 - 2a) ± √((6 - 2a)^2 - 4(a - 3)(1))) / (2(a - 3))

Simplifying further:

x = (-(6 - 2a) ± √(36 - 12a + 4a^2 - 4a + 12)) / (2(a - 3))

x = (-(6 - 2a) ± √(4a^2 - 20a + 48)) / (2(a - 3))

x = (2a - 6 ± √(4(a^2 - 5a + 12))) / (2(a - 3))

x = (2a - 6 ± √(4(a - 3)(a - 4))) / (2(a - 3))

Now we can simplify further and find the solutions for x by considering the two cases:

Case 1: a ≠ 3 In this case, we can cancel out the (a - 3) terms:

x = (2a - 6 ± 2√((a - 3)(a - 4))) / (2(a - 3))

Simplifying:

x = (a - 3 ± √((a - 3)(a - 4))) / (a - 3)

x = 1 ± √(a - 4)

Therefore, if a ≠ 3, the solutions for x are x = 1 + √(a - 4) and x = 1 - √(a - 4).

Case 2: a = 3 In this case, we substitute a = 3 into the original equation:

(3 - 3) * x^2 + (6 - 2(3))x + 1 = 0

0 * x^2 + (6 - 6)x + 1 = 0

0 + 0 + 1 = 0

Since the equation becomes 1 = 0, there are no real solutions for x when a = 3.

In summary, the solutions for the quadratic equation (a - 3) * x^2 + (6 - 2a)x + 1 = 0 are:

If a ≠ 3: x = 1 + √(a - 4) and x = 1 - √(a - 4). If a = 3: There are no real solutions for x.